Решения задач на метод максимального правдоподобия

Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом моментов используют метод максимального (наибольшего) правдоподобия.

Суть метода: составить по специальной формуле функцию правдоподобия $L$, и найти оценку параметра $\theta$ из условия максимизации функции правдоподобия (ФП) на определенной выборке $\{x_i\}$. Иногда ФП заменяют на логарифмическую функцию правдоподобия $l=\ln L$ (ЛФП), что облегчает расчеты (вычисление производных).

Оценки, полученные данным методом, будут состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными. Несмещенность оценок надо проверять (это метод не гарантирует).

Примеры нахождения оценок по методу наибольшего правдоподобия вы найдете ниже. Удачи!


Понравилось? Добавьте в закладки

Примеры решений

Пример 1. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра p биномиального распределения, если в $n_1$ независимых испытаниях событие A появилось $m_1$ раз и в $n_2$ независимых испытаниях событие A появилось $m_2$ раз.

Оценка параметра биномиального распределения МНП

Пример 2. Используя метод наибольшего правдоподобия, оценить параметры $a$ и $\sigma^2$ нормального распределения, если в результате $n$ независимых испытаний случайная величина $\xi$ приняла значения $\xi_1, \xi_2,…,\xi_n$.

Оценка параметров нормального распределения по ММП

Пример 3. Случайная величина $X$ (число появлений события $A$ в $m$ независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром $\lambda$. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку неизвестного параметра $\lambda$ распределения Пуассона.

Оценка ММП параметра распределения Пуассона

Пример 4. Случайная величина – время безотказной работы изделия имеет показательное распределение. В таблице приведены данные по времени работы в часах для 1000 изделий. Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра $\lambda$.

Оценка параметра показательного распределения по ММП

Пример 5. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку параметра $p$ геометрического распределения: $$P(X=x_i)=(1-p)^{x_i-1} \cdot p,$$ где $x_i$ - число испытаний, произведенных до появления события, $p$ - вероятность появления события в одном испытании.

Оценка параметра геометрического распределения по МНП

Пример 6. Методом максимального правдоподобия найти точечную оценку параметра $\lambda$ по данной выборке
Х 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 17-19
n 5 6 7 15 22 27 30 34 35
при условии, что соответствующая непрерывная случайная величина имеет плотность распределения $f(x)=\lambda \exp(\lambda(x-20)), x \le 20$.

Оценка параметра непрерывного распределения по МНП

Пример 7. Методом максимального правдоподобия найдите оценку параметра $\theta$, если плотность имеет вид $$ f(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{2\pi}} \exp (-(x^4-\theta)^2/2) $$ и по наблюдениям 1.4 1.5 3.2 1.4 2.5 3.4 3.1 2.4 3.8 2.6

Оценка параметра распределения по ММП

Выполним для вас задачи оценивания по ММП

Теория по ММП

Хотите немного больше знать о теоретических основах метода наибольшего правдоподобия для чайников? Тогда используйте ссылки ниже для изучения.