Учебник по теории вероятностей

1.9. Формула Пуассона

Понравилось? Добавьте в закладки

При большом числе испытаний $n$ и малой вероятности $р$ формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, $0.97^{999}$ вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в $n$ испытаниях ($n$ – велико) событие произойдет $k$ раз, используют формулу Пуассона:

$$ P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}. $$

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события в $n$ испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для $p \le 0,1$ и $np \le 10$. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших $np$ рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).

Бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона

Примеры решений на формулу Пуассона

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: $n=1000$, $p=0,002$, $\lambda=np=2$, $k=3$.

Искомая вероятность после подстановки в формулу:

$$ P_{1000}(3)=\frac{\lambda^3}{3!}\cdot e^{-\lambda}=\frac{2^3}{3!}\cdot e^{-2} \approx 0,18. $$

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: $n=500$, $p=0,004$, $\lambda=np=2$.

По теореме сложения вероятностей получаем вероятность того, что повреждено меньше 3 изделий, то есть 0, 1 или 2 изделия:

$$ P=P_{500}(0)+P_{500}(1)+P_{500}(2) = \\ =\frac{2^0}{0!}\cdot e^{-2} + \frac{2^1}{1!}\cdot e^{-2} + \frac{2^2}{2!}\cdot e^{-2} =\\ = (1+2+4/2)\cdot e^{-2} \approx 0,68. $$

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: $n=1000$, $p=0,003$, $\lambda=np=3$.

Чтобы найти вероятность $P_{1000}(k\gt 2)$ того, что магазин получит более двух разбитых бутылок, используем переход к противоположному событию (разбито не более 2 бутылок, то есть 0, 1 или 2):

$$ P_{1000}(k\gt 2) = 1 - P_{1000}(k\le 2) = 1 - (P_{1000}(0)+P_{1000}(1)+P_{1000}(2)) = \\=1 - \left(\frac{3^0}{0!}\cdot e^{-3} + \frac{3^1}{1!}\cdot e^{-3} + \frac{3^2}{2!}\cdot e^{-3} \right) =\\ =1 - \left(1 + 3 + 9/2 \right)\cdot e^{-3} \approx 0,568. $$

Видео о решении задач с помощью формулы Пуассона

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Полезные ссылки


Окажем консультацию по теории вероятности