Примеры решений по аналитической геометрии в пространстве

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии в пространстве, которые обычно касаются определения расстояний между объектами, уравнений прямых и плоскостей, углов между прямыми, расстояний между точкой и плоскостью, между прямыми, взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве и т.п.

Решение задачи о пирамиде в аналитической геометрии

Геометрия в пространстве: решения онлайн

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $М(3,2,-1)$ параллельно прямым

$$\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-2}, \frac{x-1}{4}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+3}{3}.$$

Задача 2. Найти угол между плоскостью $P$ и прямой, проходящей через начало координат и точку $M(-2;4;-3)$. Вычислить расстояние от точки $M$ до плоскости $P$: $x+5y+7z-2=0$.

Задача 3. Найти проекцию точки $P(4;1;2)$ на плоскость $4x+3z+3=0$, а также вычислить координаты точки, симметричной точке $P$ относительно заданной плоскости.

Задача 4. Построить плоскость $y = z$ и прямую $$\left\{ \begin{aligned} x-z&=1,\\ y & = 2.\\ \end{aligned} \right.$$ Найти точку их пересечения и угол между ними.

Задача 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку $(0, 1, 2)$ и перпендикулярной плоскости $3x - 4y + 5z - 12 = 0$.

Задача 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки $А(1, 3, 0)$, $В(4, -1, 2)$, $С(3, 0, 1)$.

Задача 7. Найти расстояние от точки $(1, 2, 3)$ до плоскости, отсекающей на осях координат отрезки 2, 1 и 2.

Задача 8. Найти угол между прямой $$\left\{ \begin{aligned} x-y+z-4&=0,\\ 2x+y-2z+5 & = 0.\\ \end{aligned} \right.$$ и прямой, проходящей через точку $(2, 1, -1)$ и начало координат.

Задача 9. Найти проекцию точки $(3, 1, -1)$ на плоскость $х + 2у + 3z - 30 = 0$.

Задача 10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(-1, 2, -3)$ перпендикулярно прямой

$$\left\{ \begin{aligned} x&=2,\\ y-z & = 1.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $М (1,2,3)$ и $N (-3, 4,-5)$ параллельно оси $Оz$.

Задача 12. Найти угол между плоскостью $\alpha$ и прямой, проходящей через начало координат и точку $M(-2,4,-3)$. Вычислить расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha: x+5y+7z-2=0$.

Задача 13. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $J$.

$$M(-4,5,-2), \quad J: \frac{x+3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{2}.$$

Задача 14. Найти канонические уравнения прямой:

$$\left\{ \begin{aligned} x-2y+z+6&=0,\\ 2x+y-4z-8 & = 0.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 15. Найти точки $M_1$ и $M_2$ симметричные точке $M$ относительно прямой $L$ и плоскости $\Pi$.
Дано: $M(11;7;6)$
уравнение прямой $L: \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$,
уравнение плоскости $\Pi: x+y+z-18=0$ .

Задача 16. Найти
1) уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$;
2) уравнение прямой, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости $P$;
3) уравнение плоскости, проходящей через точку $A$ перпендикулярно прямой $L$.

$$A(0,-3,4), B(-1,0,2), P: 3x-y+5z+1=0, L: x=2t-4, y=3t, z=-t+1.$$

Задача 17. Найти расстояние от точки $В (1, 2, 0)$ до прямой, заданной системой уравнений

$$\left\{ \begin{aligned} x-y+2z&=3,\\ x-y& = 1.\\ \end{aligned} \right.$$