Примеры решений. Квадратичные формы

Решения задач: квадратичные формы

Задача 1. Дано уравнение кривой второго порядка. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы соответствующей квадратичной формы и использовать их для приведения уравнения кривой к каноническому виду.

$$3x^2+3y^2-4xy+6x-4y-7=0$$

Задача 2. Линейным преобразованием координат привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой.

$$ x^2-4xy+y^2+4x-2y+1=0. $$

Задача 3. Привести квадратичную форму к каноническому виду: а) методом Якоби, б) методом Лагранжа. Найти канонический базис и матрицу перехода к каноническому базису.

$$k(x)=4x_1^2+8x_2^2+x_3^2+8x_1x_2+4x_1x_3+8x_2x_3.$$

Задача 4. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Найти это преобразование, канонический базис, матрицу перехода к каноническому базису, убедиться, что в этом базисе матрица квадратичной формы является диагональной.

$$k(x)=-2x_1^2+2x_2^2-2x_3^2-4x_1x_2+5\sqrt{2}x_1x_3+\sqrt{2}x_2x_3.$$

Задача 5. Используя теорию квадратичных форм, исследовать кривую второго порядка заданную общим уравнением и построить ее.

$$ -4xy-x+4y=6=0. $$

Задача 6. Найти линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичные формы, заданные своими матрицами, к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.

$$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} $$