Примеры решений. Линейные операторы

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач, касающиеся линейных операторов (преобразований, отображений): нахождение матрицы оператора в разных базисах, проверка его свойств, нахождение собственных (характеристических) значений и векторов.

Решения задач: линейные операторы

Задача 1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования $A$, заданного уравнениями $x'=5x+4y, y'=8x+9y$.

Задача 2. Найти в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ матрицу линейного оператора $f: E^3 \rightarrow E^3$, переводящего любой вектор $x$ в вектор $y=f(x)$, $f(x)=(a,x)a$, если $a=i-j+2k$.

Задача 3. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее $x_1'', x_2'', x_3''$ через $x_1, x_2, x_3$.

Задача 4. Установить, являются ли заданные отображения $A: R^4 \to R^4$ линейными. В случае линейности отображения записать матрицу оператора $A$ в каноническом базисе

$$ e_1=(1,0,0,0); e_2=(0,1,0,0); e_3=(0,0,1,0); e_4=(0,0,0,1). $$ $$ Ax=(x_1-2x_4; x_2+x_3; -x_1; x_1+3x_2);\quad Ax=(x_1-2x_4; x_2\cdot x_3; -x_1; x_1+3x_2). $$

Задача 5. Найти собственные значения и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей $А$.

$$A= \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4\\ -2 & 1 & -2\\ 5 & 2 & 7\\ \end{pmatrix} $$

Задача 6. Линейный оператор $A: R^3 \to R^3$ в базисе $e_1, e_2, e_3$ представлен данной матрицей. Найти матрицу этого линейного оператора в базисе $f_1, f_2, f_3$ .

$$A= \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1\\ 1 & 3 & -4\\ -1 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}, \quad \left\{ \begin{aligned} f_1&=e_1-e_2+3e_3,\\ f_2&=4e_1+e_2-e_3,\\ f_3&=2e_1-3e_2.\\ \end{aligned} \right. $$