Примеры решений. Линейные пространства

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.

Решения задач: линейные пространства

Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:

$$V=\{(x_1, x_2, x_3, x_4): x_1-2x_3=0 \};\quad V=\{(x_1, x_2, x_3, x_4): x_3+x_4=1 \}.$$

Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.

$$e_1=(1,0,-2,3); e_2=(0,1,3,2); e_3=(1,0,0,1); e_4=(2,3,12,2); a=(9,12,5,8).$$

Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^{\perp}$

$$\left\{ \begin{aligned} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=0,\\ x_1-2x_2+2x_3+x_4-2x_5&=0.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $\overline{a}$ угол $\alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|\overline{x}|=1$ .

Задача 5. Пусть $L$ - множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p''(1)=0$. Доказать, что $L$ - линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?

Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$\begin{pmatrix} 2a & a+3b-2c\\ b & 5c\\ \end{pmatrix}$$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_{22}$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.