Примеры решений. Матрицы и определители

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач, связанные с матрицами (умножение и транспонирование матриц, нахождение обратной, вычисление ранга матрицы) и определителями.

Решения задач с матрицами

Задача 1. Даны матрицы $A$ и $B$, найти неизвестную матрицу $X$, удовлетворяющую данному матричному уравнению $(X+A)B=2X$.

Задача 2. Найти ранг матрицы $A$

$$A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 5\\ 10 & 2 & -1 & 3\\ 8 & 6 & -7 & -7\\ \end{pmatrix}$$

Задача 3. Даны матрицы $A$ и $B$. Требуется найти матрицу $(\alpha A+ \beta B)A^T$, где $A^T$ - матрица, транспонированная к $A$.

$$A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\ -2 & -2 & 3\\ \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2\\ 1 & 5 & 3\\ \end{pmatrix}, \quad \alpha=3, \beta=-2.$$

Задача 4. Найти матрицу, обратную матрице $A$. Сделать проверку.

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$

Задача 5. Для данной матрицы $A$, приведенной для каждого варианта в приложении 1, требуется:
А) вычислить определитель матрицы $A$;
Б) вычислить след матрицы $A$;
В) найти (если это возможно) матрицу, обратную к матрице $A$;
Г) найти базис и ранг системы векторов – строк матрицы $A$;
Д) определить ранг матрицы $A$;
Е) найти собственные значения матрицы $A$ и соответствующие им собственные векторы.

$$A= \begin{pmatrix} 4 & -5 & 7\\ 1 & -4 & 9\\ -4 & 0 & 5\\ \end{pmatrix}$$

Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}$$

Решения задач с определителями

Задача 7. Найти те значения $\lambda$, при которых определитель матрицы равен нулю.

$$\begin{pmatrix} 2-\lambda& 0 & 0\\ 3 & 2-\lambda & -1\\ 3 & -2 & 1-\lambda\\ \end{pmatrix}$$

Задача 8. Вычислить определитель матрицы $A$

$$A= \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 & 5 & 11\\ 1 & 4 & 2 & 0 & 13\\ 1 & 1 & 0 & -1 & 5\\ 3 & 2 & 3 & 0 & 7\\ 4 & 1 & 2 & 3 & 8\\ \end{pmatrix}$$

Задача 9. Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:
а) разложить по какой-либо строке или столбцу;
б) преобразовать определитель, получив нули в какой-либо строке или столбце, используя свойства определителя, а затем разложить его по этой строке или столбцу.

$$A= \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & -2 \\ \end{vmatrix}$$