Примеры решений. Многочлены. Уравнения

Решения задач с многочленами

Задача 1. Найти все нули многочлена $z^4+2z^3-4z+12$ и разложить его на неприводимые сомножители с действительными коэффициентами, если известен один из его нулей $z_1=1+i$.

Задача 2. Даны многочлены $f(z)=z^4-3z^3+z^2+4$ и $g(z)=z^2-2z-3$.
Требуется:
а) подобрать целые нули многочлена $f(z)$ среди делителей свободного члена;
б) разложить многочлен $f(z)$ на линейные и неприводимые квадратичные множители с действительными коэффициентами;
в) разложить многочлен $f(z)$ на линейные множители с комплексными коэффициентами;
г) представить дробь $g(z)/f(z)$ в виде суммы простейших дробей с действительными коэффициентами.

Задача 3. Сколько членов разложения $\left( \sqrt[3]{3}+\sqrt{2}x \right)^{20}$ имеют рациональные коэффициенты при $x$? Найти эти коэффициенты.

Задача 4. Определить, делится ли многочлен $x^{4n-2}-x^{4n-4}+x^{4n-6}-...+x^2-1$ на $x^4-1$.

Задача 5. Найти рациональные корни полинома $2x^3+3x^2+6x-4$.

Решения алгебраических уравнения

Задача 6. Найти все корни алгебраических уравнений:

$$x^4-2x^2-24x+72=0.$$

Задача 7. Решить по формуле Кардано уравнение: $x^3-6x+9=0$

Задача 8. Сумма двух корней уравнения $2x^3-x^2-7x+\lambda=0$ равна 1. Определить $\lambda$.