Примеры решений: полярная система координат

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые в полярной системе координат: табуляция функции, построение графика, переход к уравнению в декартовой системе координат т.п.

Основные этапы при работе с кривой, заданной в полярной системе координат, такие:

• 1. Построить полярную систему координат (изобразить полюс, полярную ось и угловые направления). Обычно строят вспомогательные лучи через $\pi/6$ или $\pi/8$ радиан, для большинства кривых этих точек (получается от $0$ до $2\pi$ помещается 12 или 16 значений) вполне достаточно.
• 2. Табулируем кривую: берем последовательно все углы $\phi$ (см. выше): $0$, $\pi/8$, $\pi/4$, $3\pi/8$,... и в каждой точке вычисляем значение $\rho(\phi)$. Заносим значения в таблицу.
• 3. Берем начерченную в первом пункте полярную систему координат и наносим точки. На полярной оси отмеряем значние $\rho(0)$, на луче $\pi/8$ - $\rho(\pi/8)$ и так далее.
• 4. Соединяем все точки плавной линией. Получается искомая кривая. Для проверки правильности можно построить дополнительно график с помощью онлайн-сервисов.
• 5. Если требуется найти уравнение кривой в декартовой системе координат, подставляем подходящие формулы $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$, $x=\rho\cos \phi$, $y=\rho\sin \phi$ и преобразуем.

Более подробно - в примерах ниже. Удачного изучения!

См. также: Решения по аналитической геометрии на плоскости

Полярная система координат: решения онлайн

Задача 1. Построить следующие кривые в полярной системе координат: Лемниската Бернулли $\rho^2=2\cos 2\phi$ (полюс помещен в точку О).

Задача 2. Построить по точкам кривую, заданную уравнением в полярной системе координат $\rho=2\sin 2\phi$. Найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось $Ox$ с полярной осью.

Задача 3. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат $r=8 \sin \phi$. Требуется:
1) построить линию по точкам, давая $\phi$ значения через $\pi/6$, начиная с 0 до $2\pi$.
2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.

Задача 4. Линия задана уравнением $r=18/(4+5\cos \phi)$ в полярной системе координат. Требуется:
Построить линию по точкам, начиная от 0 до $2\pi$ и придавая $\phi$ значения через промежуток $\pi/8$.
Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
Назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.