Примеры решений. Системы линейных уравнений

В этом разделе вы найдете бесплатные решения систем линейных алгебраических уравнений разными методами: Крамера, Гаусса, Жордана-Гаусса, с помощью обратной матрицы (матричный метод). Разобраны случаи нахождения общего, частного, базисного решений, системы фундаментальных решений.

Решения задач: СЛАУ

Задача 1. Решить систему линейных уравнений тремя методами:
1) методом Крамера;
2) матричным методом;
3) методом Гаусса.

$$\left\{ \begin{aligned} 4x_1+5x_2+2x_3&=1,\\ 3x_1-3x_2+2x_3 & = 2,\\ 2x_1-3x_2+x_3 & = 3.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 2. Записать систему линейных алгебраических уравнений $АХ=В$ и решить ее тремя способами:
а) с помощью обратной матрицы $Х=А^{-1}\cdot В$, предварительно вычислив $A^{-1}$. Сделать две проверки:
1) $А^{-1}\cdot A = E$;
2) подставить полученную матрицу-столбец $Х$ в исходное уравнение и убедиться, что $А\cdot X=В$;
б) по правилу Крамера;
в) методом Гаусса.

$$A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ \end{pmatrix}.$$

Задача 3. Используя теорему Кронекера-Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений $$\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2-x_3&=2,\\ -x_1+x_2+2x_3+x_4 & = 3,\\ 3x_1+3x_2-4x_3-x_4 & = 1,\\ x_1+5x_2+x_4 & = 7.\\ \end{aligned} \right.$$ Найти общее решение методом Гаусса и какое-либо частное решение.

Задача 4. Системы уравнений привести к равносильным разрешенным системам, включив в набор разрешенных неизвестных $x_1, x_2, x_3$. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение. Переразрешить систему и записать новое общее и соответствующее базисное решения.

$$\left\{ \begin{aligned} 2x_1+x_2+4x_3+7x_4+16x_5&=12,\\ 3x_1+3x_2+5x_3+11x_4+24x_5&=20,\\ 4x_1+5x_2+7x_3+16x_4+35x_5&=29.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 5. Используя метод Жордана-Гаусса, исследовать совместность системы уравнений и, если она совместна, то найти ее решение. Если система неопределенная, то найти два общих и соответствующие им базисные решения.

$$\left\{ \begin{aligned} 2x_1+x_2-5x_3+14x_4+4x_5&=0,\\ -3x_1+2x_2+39x_3-7x_4-13x_5&=-7,\\ 4x_1+3x_2-x_3+32x_4+6x_5&=-2.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 6. Найти фундаментальную систему решений и записать структуру общего решения:

$$\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+3x_3+4x_4&=0,\\ 3x_1+6x_2+12x_3+2x_4&=0,\\ 2x_1+4x_2+6x_3+8x_4&=0.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 7. Исследовать на совместность и решить систему уравнений:

$$\left\{ \begin{aligned} 0x_1+4x_2-x_3+3x_4&=1,\\ x_1+0x_2+0x_3+2x_4&=1,\\ x_1+4x_2-x_3+0x_4&=-3,\\ 0x_1+0x_2-x_3+2x_4&=0.\\ \end{aligned} \right.$$

Задача 8. Исследовать на совместность и решить систему уравнений:

$$\left\{ \begin{aligned} 3x_1+0x_2+x_3-2x_4+0x_5&=0,\\ -x_1+2x_2-x_3-x_4-x_5&=-3,\\ 2x_1+2x_2+0x_3-x_4-x_5&=-3,\\ x_1-x_2-x_3+0x_4-2x_5&=1.\\ \end{aligned} \right.$$