Численные методы интегрирования
В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме численного интегрирования (приближенного нахождения значений определенных интегралов). Рассмотрены основные методы и формулы: прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса, Ньютона. В некоторых задачах производится сравнение точности и скорости методов на примере одной функции.
Решения задач на численное интегрирование онлайн
Задача 1.Вычислить интеграл $$\int_{1.0}^{2.6} e^{-0.1/x} dx,$$ используя квадратурные формулы:
а) центральных прямоугольников с шагом $h=0.4$; дать априорную оценку погрешности;
б) трапеций с шагами $h=0.4$ и $h=0.2$; оценить погрешность результата по формуле Рунге и уточнить результат по Рунге;
в) Симпсона с шагом $h=0.4$.
Промежуточные результаты вычислять с шестью значащими цифрами. Аргументы тригонометрических функций вычислять в радианах.
Задача 2. Вычислить для n=10 с точностью до 0,0001 по формуле трапеций
$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}$$Задача 3. 1) Вычислите приближенное значение интеграла с помощью формул прямоугольников, трапеций и Симпсона. Число равных отрезков разбиения интервала $[a;b]$ взять равным 10.
2) Определите оценку погрешности через вторую или четвертую производные.
3) Определите абсолютную погрешность приближенного значения интеграла.
4) Определите количество узлов разбиения, при которых погрешность приближенного значения интеграла по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона составит 0,01.
$$\int_{1.6}^{2.4} (x+1) \sin x dx$$
Задача 4. 1) Вычислить приближенное значение интеграла, используя квадратурную формулу Гаусса с 11 узлами
2) Определите оценку погрешности через производную 2n.
3) Определите абсолютную погрешность приближенного значения интеграла.
$$\int_{1.6}^{2.4} (x+1) \sin x dx$$
Задача 5. Методом прямоугольников вычислить интеграл с шагом 0,02: $$\int_{0.4}^{2.2} \frac{\sin(x^2+2.5) dx} {x^3+3}.$$
Задача 6. Для функции $f(x)=\cos x /(2+\sin x)$, приближённо вычислить определённый интеграл на отрезке $[2;8]$ точно, по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона при $n=12$ разбиении отрезка интегрирования. Вычислить абсолютную и относительную погрешность.
