Метод математической индукции для чайников

Метод полного перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Этот метод имеет крайне ограниченную область применения в математике, так как обычно математические утверждения касаются бесконечного множества объектов (например, натуральных чисел, простых чисел, квадратов и т.п.) и перебрать их невозможно.

Существует метод рассуждений, который позволяет заменить неосуществимый бесконечный перебор доказательством того, что если утверждение истинно в одном случае, то оно окажется истинным и в следущем за ним случае. Этот метод носит название математической индукции (или рассуждением от $n$ к $n+1$)

Основы метода математической индукции

В основе метода математической индукции (ММИ) лежит принцип математической индукции: утверждение $P(n)$ (где $n$ - натуральное число) справедливо при $\forall n \in N$, если:

• Утверждение $P(n)$ справедливо при $n=1$.
• Для $\forall k \in N$ из справедливости $P(k)$ следует справедливость $P(k+1)$.

Доказательство с помощью метода математической индукции проводится в два этапа:

1. База индукции (базис индукции). Проверяется истинность утверждения при $n=1$ (или любом другом подходящем значении $n$)
2. Индуктивный переход (шаг индукции). Считая, что справедливо утверждение $P(k)$ при $n=k$, проверяется истинность утверждения $P(k+1)$ при $n=k+1$.

Метод математической индукции применяется в разных типах задач:

• Доказательство делимости и кратности
• Доказательство равенств и тождеств
• Задачи с последовательностями
• Доказательство неравенств
• Нахождение суммы и произведения

Ниже вы найдете примеры решения задач, иллюстрирующие применение метода математической индукции, а также ссылки на полезные сайты и учебник и небольшой видеоурок по ММИ.

Математическая индукция: задачи и решения

Доказательство кратности и делимости

Задача 1. Докажите, что $5^n-4n+15$ делится на 16 при всех $n \in N_0$.

Задача 2. Доказать, что при любом натуральном $n$ число $a_n$ делится на $b$.

$$a_n = 2n^3+3n^2+7n, \quad b=6.$$

Задача 3. Докажите методом математической индукции: $4^{2n-1} + 1$ кратно 5 для всех $n \ge 1$.

Задача 4. Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа истинно следующее утверждение: $6^{2n-2}+3^{n+1}+3^{n-1}$ кратно 11.

Доказательство равенств и неравенств

Задача 5. Доказать равенство

$$1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Задача 6. Доказать методом математической индукции:

$$p+(p+1)+(p+2)+...+(p+n) = \frac{(2p+n)(n+1)}{2}.$$

Задача 7. Доказать неравенство:

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \gt \frac{13}{24} \quad (n \gt 1).$$

Задача 8. Доказать утверждение методом математической индукции:

$$\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)\cdot ... \cdot\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\frac{n+1}{2n} \quad (n \ge 2).$$

Задача 9. Доказать неравенство:

$$2!\cdot 4! \cdot ... \cdot (2n)! \gt [(n+1)!]^n \quad (n \gt 2).$$

Задача 10. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли: $(1+a)^n \ge 1 + a\cdot n$ для всех $n\in N$ и $a \gt -1$, $a \in R$.

Вычисление сумм

Задача 11. Доказать методом математической индукции:

$$1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}.$$

Задача 12. Найдите сумму

$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + . . . + 2012 \cdot 2012! + 2013 \cdot 2013!$$

Заказать решение

Если вам нужна помощь с решением задач по любым разделам математики, обращайтесь в МатБюро. Выполняем контрольные и практические работы, ИДЗ и типовые расчеты на заказ. Стоимость задания от 80 рублей, оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Полезные ссылки о ММИ

• ММИ: краткая теория и примеры решений Страничка виртуальной школы юного математика. Разобраны примеры (в том числе для геометрии) и даны задачи для самостоятельной работы.
• Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика Классическое пособие по методу математической индукции и комбинаторике (базовые понятия и примеры задач).
• Математическая индукция. Основные определения и 10 разобранных решений.
• Николаева С.А. Метод математической индукции: методическое пособие для учителей и учащихся.
• А. Шень Математическая индукция. Пособие для школьников, разобраны 29 задач, из них 19 с полным решением.

Кратенький видеоурок о ММИ