Метод математической индукции для чайников
Метод полного перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Этот метод имеет крайне ограниченную область применения в математике, так как обычно математические утверждения касаются бесконечного множества объектов (например, натуральных чисел, простых чисел, квадратов и т.п.) и перебрать их невозможно.
Существует метод рассуждений, который позволяет заменить неосуществимый бесконечный перебор доказательством того, что если утверждение истинно в одном случае, то оно окажется истинным и в следущем за ним случае. Этот метод носит название математической индукции (или рассуждением от $n$ к $n+1$)
Основы метода математической индукции
В основе метода математической индукции (ММИ) лежит принцип математической индукции: утверждение $P(n)$ (где $n$ - натуральное число) справедливо при $\forall n \in N$, если:
- Утверждение $P(n)$ справедливо при $n=1$.
- Для $\forall k \in N$ из справедливости $P(k)$ следует справедливость $P(k+1)$.
Доказательство с помощью метода математической индукции проводится в два этапа:
- База индукции (базис индукции). Проверяется истинность утверждения при $n=1$ (или любом другом подходящем значении $n$)
- Индуктивный переход (шаг индукции). Считая, что справедливо утверждение $P(k)$ при $n=k$, проверяется истинность утверждения $P(k+1)$ при $n=k+1$.
Метод математической индукции применяется в разных типах задач:
- Доказательство делимости и кратности
- Доказательство равенств и тождеств
- Задачи с последовательностями
- Доказательство неравенств
- Нахождение суммы и произведения
Ниже вы найдете примеры решения задач, иллюстрирующие применение метода математической индукции, а также ссылки на полезные сайты и учебник и небольшой видеоурок по ММИ.
Математическая индукция: задачи и решения
Доказательство кратности и делимости
Задача 1. Докажите, что $5^n-4n+15$ делится на 16 при всех $n \in N_0$.
Задача 2. Доказать, что при любом натуральном $n$ число $a_n$ делится на $b$.
$$a_n = 2n^3+3n^2+7n, \quad b=6.$$Задача 3. Докажите методом математической индукции: $4^{2n-1} + 1$ кратно 5 для всех $n \ge 1$.
Задача 4. Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа истинно следующее утверждение: $6^{2n-2}+3^{n+1}+3^{n-1}$ кратно 11.
Доказательство равенств и неравенств
Задача 5. Доказать равенство
$$ 1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$Задача 6. Доказать методом математической индукции:
$$ p+(p+1)+(p+2)+...+(p+n) = \frac{(2p+n)(n+1)}{2}. $$Задача 7. Доказать неравенство:
$$ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \gt \frac{13}{24} \quad (n \gt 1). $$Задача 8. Доказать утверждение методом математической индукции:
$$ \left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)\cdot ... \cdot\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\frac{n+1}{2n} \quad (n \ge 2). $$Задача 9. Доказать неравенство:
$$ 2!\cdot 4! \cdot ... \cdot (2n)! \gt [(n+1)!]^n \quad (n \gt 2).$$Задача 10. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли: $(1+a)^n \gt 1 + a\cdot n$ для всех $n\in N$ и $a \gt -1$, $a \in R$.
Вычисление сумм
Задача 11. Доказать методом математической индукции:
$$ 1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}. $$Задача 12. Найдите сумму
$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + . . . + 2012 \cdot 2012! + 2013 \cdot 2013!$$Заказать решение
Если вам нужна помощь с решением задач по любым разделам математики, обращайтесь в МатБюро. Выполняем контрольные и практические работы, ИДЗ и типовые расчеты на заказ. Стоимость задания от 60 рублей, оформление производится в Word, срок от 2 дней.
Полезные ссылки о ММИ
- ММИ: краткая теория и примеры решений Страничка виртуальной школы юного математика. Разобраны примеры (в том числе для геометрии) и даны задачи для самостоятельной работы.
- Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика Классическое пособие по методу математической индукции и комбинаторике (базовые понятия и примеры задач).
- Математическая индукция. Основные определения и 10 разобранных решений.
- Николаева С.А. Метод математической индукции: методическое пособие для учителей и учащихся.
- А. Шень Математическая индукция. Пособие для школьников, разобраны 29 задач, из них 19 с полным решением.
