Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных

Немного теории

Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.

ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.

ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).

Приведение к каноническому виду

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение

$$u''_{xx} +2u''_{xy}+u''_{yy}-2u'_{x}-5u'_{y}-3u+xy=0.$$

Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.

$$y \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}-x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0.$$

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

$$u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}+2u_x-2u_y=0.$$

Решение ДУ в ЧП

Задача 4. Решить уравнение Пфаффа

$$z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0.$$

Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных

$$u_{tt}-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y.$$

Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных

$$(xz+y)\frac{\partial z}{\partial x} +(x+yz)\frac{\partial z}{\partial y}=1-z^2.$$

Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.

$$xy u_x +(x-2u)u_y = yu.$$

Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных

$$y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y.$$

Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{x},\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y}.$$

Разные задачи на исследование ДУ в ЧП

Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию

$$z \frac{\partial z}{\partial x} +(z^2-x^2)\frac{\partial z}{\partial y}=-x; \quad y=x^2, z=2x.$$

Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.

$$(l-x)u_{xx} +2xy u_{xy}-y^2u_{yy}=0.$$

Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что

$$\frac{\partial u}{\partial r}_{(r=R)}=\sin \varphi+\cos 4\varphi.$$

Помощь с решением ДУ в ЧП

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Дополнительная информация

• Решенные в МатБюро контрольные по ДУ
• Онлайн-помощь на контрольной
• Дифференциальные уравнения - задачи с решениями
• Дифференциальные уравнения для чайников