Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = \int_0^\infty f(t) e^{-pt}dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

$$f(t)=\frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $\int_0^t \cos \tau \cdot e^{-3\tau}d\tau.$

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = \int_0^\infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

$$F(p)=\frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$

Задача 6. Найти оригинал изображения

$$F(p)=\frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

$$F^*(p)=\frac{1}{e^{4p}-625}.$$

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

$$x'+x=4e^t, x(0)=2.$$

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

$$x''+2x'+2x=te^{-t}, \quad x(0)=0, x'(0)=0.$$

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

$$x'=x-y,\\ y'=x+y,\\ x(0)=2, y(0)=1.$$

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

$$x'''+x''-2x'-5x=5e^t, \quad x(0)=0, x'(0)=1, x''(0)=2.$$

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

$$\frac{dx}{dt}=x-2y,\\ \frac{dy}{dt}=x+3y,\\ x(0)=0, y(0)=1.$$

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

$$x'''+x'=tg t, \quad x(0)=x'(0)=x''(0)=0.$$

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

$$x'=-y+z,\\ y'=z, \quad x(0)=1, \\ z'=-x+z;\\ y(0)=z(0)=1/2.$$

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$y(t)=\cos t +\int_0^t (t-\tau)^2 y(\tau)d \tau.$$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$\int_0^t ch (\tau) x(t-\tau)d \tau = t.$$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $\phi(t)=\sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Дополнительная информация

• Онлайн-помощь по математическому анализу
• Дифференциальные уравнения - задачи с решениями
• Как решать ДУ с помощью операционного исчисления