Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)
Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.
Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:
$$F(p) = \int_0^\infty f(t) e^{-pt}dt$$Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.
В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.
Как найти изображение функции
Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению
$$f(t)=\frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.
Задача 3. Найти изображение функции: $\int_0^t \cos \tau \cdot e^{-3\tau}d\tau. $
Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = \int_0^\infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).
Как найти оригинал функции
Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где
$$F(p)=\frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$Задача 6. Найти оригинал изображения
$$F(p)=\frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов
$$F^*(p)=\frac{1}{e^{4p}-625}.$$Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом
Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом
$$x'+x=4e^t, x(0)=2.$$Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления
$$x''+2x'+2x=te^{-t}, \quad x(0)=0, x'(0)=0.$$Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
$$x'=x-y,\\ y'=x+y,\\ x(0)=2, y(0)=1.$$Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка
$$x'''+x''-2x'-5x=5e^t, \quad x(0)=0, x'(0)=1, x''(0)=2.$$Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
$$\frac{dx}{dt}=x-2y,\\ \frac{dy}{dt}=x+3y,\\ x(0)=0, y(0)=1. $$Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения
$$x'''+x'=tg t, \quad x(0)=x'(0)=x''(0)=0.$$Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа
$$ x'=-y+z,\\ y'=z, \quad x(0)=1, \\ z'=-x+z;\\ y(0)=z(0)=1/2. $$Как решить интегральное уравнение
Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения
$$ y(t)=\cos t +\int_0^t (t-\tau)^2 y(\tau)d \tau. $$Задача 16. Решить интегральное уравнение
$$ \int_0^t ch (\tau) x(t-\tau)d \tau = t. $$Как найти свертку функций
Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $\phi(t)=\sin 5t$.
Помощь с решением заданий
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.
