Решения разностных уравнений

Разностные уравнения для чайников

На этой странице мы рассмотрим примеры решения типовых задач, встречающихся в курсе дифференциальных и разностных уравнений, а именно нахождение общего или частного решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Чаще всего в контрольных встречаются уравнения второго или третьего порядка:

$$a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)=f(x), \\ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)+ a_3 y(x+3)=f(x).$$

Здесь $a_i$ - постоянные коэффициенты, $f(x)$ - правая часть (неоднородность уравнения), $y(x)$ - искомая неизвестная функция.

Решение разностных уравнений практически полностью аналогично решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. тут примеры): ищется решение однородного уравнения через составление характеристического уравнения, и частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.

Примеры решений разностных уравнений

Задача 1. Решить разностное уравнение: $y(x+2)-4y(x+1)+4y(x)=2^x$

Задача 2. Найти общее решение линейного разностного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

$$y(i+2)-4y(i+1)-12y(i)=6\cdot 6^i.$$

Задача 3. Решить разностное уравнение третьего порядка

$$y(x+3)-16y(x+2)+83y(x+1)-140y(x)=0, \quad y(0)=3, y(1)=18, y(2)=120.$$

Задача 4. Найти частное решение однородного разностного уравнения:

$$y(x+3)-6y(x+2)+11y(x+1)-6y(x)=0, \quad y(0)=0, y(1)=2, y(2)=8.$$

Помощь с разностными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным и разностным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Дополнительная информация

• Задачи по дифференциальным уравнениям с решениями
• Онлайн-помощь на контрольной
• Почему МатБюро?