Вариационное исчисление: примеры и задачи

Вариационное исчисление для чайников

Древнейшей из задач на максимум и минимум является задача отыскания среди плоских замкнутных кривых заданной длины такую, которая охватывает наибольшую площадь (5 в до н.э.) - и это классическая изопериметрическая задача вариационного исчисления. Началось же классическое вариационное исчисление с задачи о кривой наискорейшего спуска (брахистохроне) в 1696 г. с публикации Иоганна Бернулли.

Общие принципы и методы решения задач вариационного исчисления были введены в 18 веке Эйлером и Лангранжем, они же установили тесную связь между ВИ и естествознанием. Далее на протяжении более чем двух столетий они разрабатывались, были найдены помимо необходимых условий первого порядка (уравнений Эйлера-Лагранжа) необходимые и достаточные услвоия второго порядка для сильных и слабых экстремумов.

На этой странице мы рассмотрим примеры с подробным решением следующих типов: простейшая задача вариационного исчисления, задача Больца, изопериметрическая задача, задача со старшими производными. А также научимся находить вариацию и допустимые экстремали функционала. Все это относится к классическому вариационному исчислению.

Смежные задачи вы можете найти в соответствующих разделах: Нелинейное программирование, Многокритериальная оптимизация, Математическое программирование и т.д.

Вариационное исчисление: задачи с решениями

Задача 1. Решить классическую задачу вариационного исчисления:

$$\int_0^1 \dot{x}^2 dt \to extr, \quad x(0)=1, x(1)=0.$$

Задача 2. Решить задачу Больца

$$\int_0^1 \dot{x}^2 dt +\alpha x^2(1) \to extr, \quad x(0)=1.$$

Задача 3. Решить изопериметрическую задачу

$$\int_0^1 \dot{x}^2 dt \to extr, \int_0^1 x^2 dt =3, \quad x(0)=1, x(1)=6.$$

Задача 4. Решить задачу со старшими производными

$$\int_0^\pi (\ddot{x}^2+4x^2) dt \to extr, \quad x(0) = \dot x(0)=0, \, \dot x(\pi)=sh(\pi).$$

Задача 5. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$J(y)=\int_0^1 (e^y +xy')dx, \quad y(0)=0, y(1)=1.$$

Задача 6. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$J(y)=\int_0^1 e^{-x}\cdot y'' ^2 dx, \quad y(0)=0, y'(0)=1, y(1)=e, y'(1)=2e.$$

Задача 7. Для указанной вариационной задачи записать уравнение Эйлера и найти экстремаль, удовлетворяющую условиям $y(0) = 19, y(1)=30$

$$\int_0^1 (1+y'^2)dx.$$

Задача 8. Найти вариацию функционала

$$\int_0^1 (x+y')\ln \sin y' dx.$$

Задача 9. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$J(y)=\int_0^{\pi/4} (4y\sin x +y'^2-y^2)dx, \quad y(0)=0, y(\pi/4)=0.$$

Консультации и помощь

Нужно выполнить контрольную работу или задачи по вариационному исчислению и смежным предметам? Нет проблем! Стоимость консультации по решению - от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Полезные ссылки

• Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры Крайне удобная для решения задач методичка: для каждого типа задач есть теория, краткий алгоритм и пример решения нескольких задач. Рекомендуем.
• Вариационное исчисление и основы теории управления Краткое учебное пособие с примерами задач по ВИ
• Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление Классический учебник, теория изложена на простом уровне, множество разобранных примеров по каждому разделу.
• Изопериметрическая задача: теория и примеры решения