Гипергеометрический закон распределения

На этой странице мы собрали примеры решения учебных в которых встречается гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины.

Краткая теория

С понятием гипергеометрической вероятности мы уже сталкивались ранее, когда решали определенный кластер задач по формуле классической вероятности: задачи про выбор шаров определенного цвета, выигрышных лотерейных билетов или бракованных деталей. Теперь такие же задачи будут встречаться и при изучении случайных величин.

Для определенности сформулируем задачу следующим образом:

Из урны, в которой находятся $N$ шаров ($K$ белых и $N-K$ чёрных шаров), наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров ($n \le N$). Найти закон распределения случайной величины $X$ - равной числу белых шаров среди выбранных.

Случайная величина $X$ может принимать целые значения от $0$ до $K$ (если $n \lt K$, то до $n$). Вероятности вычисляются по формуле: $$P(X=k)=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}, \quad 0\le k \le K.$$

В задачах, конечно же, речь может идти не только о шарах белого и черного цвета, а о многом другом: телевизорах марки А или Б, выигрышных и проигрышных билетах, стандартных и нестандартных деталях и т.п. выборках, где есть объекты двух типов и мы отслеживаем, сколько объектов нужного "типа" появится.

Для гипергеометрического распределения можно вычислять числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию) как по обычным формулам (по ряду распределения), так и по готовым формулам:

$$M(X)=\frac{K}{N}\cdot n, \quad D(X)=\frac{K}{N}\cdot n \cdot \frac{N-n}{N} \cdot \frac{N-K}{N-1}.$$

Примеры решенных задач

Задача 1. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно.

Задача 2. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

Задача 3. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных.

Задача 4. Составить закон распределения числа карт трефовой масти среди четырех взятых наугад из колоды карт. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 5. В партии из 11 изделий 5 имеют скрытые дефекты. Наугад выбраны 4 изделия. Пусть X - число бракованных изделий среди выбранных. Напишите закон распределения для случайной величины X и вычислите ее математическое ожидание.

Задача 6. В стопке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по информатике. Выбирают наудачу три книги. Составить закон распределения числа книг по математике среди отобранных. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

Задача 7. Для экспертной оценки качества растворимого кофе было отобрано 9 образцов разных производителей: 6 образцов фирмы Nestle и 3 образца фирмы KraftFood. В результате проверки выяснилось, что 4 случайно выбранных образца соответствуют стандартам качества.
А) Составьте ряд распределения числа образцов фирмы Nestle, среди отобранных и постройте его график.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
В) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
Г) Чему равна вероятность того, что как минимум два образца фирмы Nestle соответствуют качеству?

Задача 8. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, наудачу извлекают сразу 4 шара. Пусть $X$ - число белых шаров в выборке. Найдите ряд распределения, функцию распределения и моду случайной величины $X$. Постройте многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение Х, найдите вероятность события $X \ge MX$.

Задача 9. В коробке 20 одинаковых клубков ниток, из них – 4 клубка с красными нитками. Наудачу вынимают 2 клубка. Найти закон распределения числа клубков с красными нитками.

Задача 10. В сборной команде института по стрельбе 16 человек, из них 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух членов сборной. Составьте закон распределения дискретной случайной величины $Х$ – числа перворазрядников среди выбранных. Найдите числовые характеристики этой случайной величины, функцию $F(x)$ и постройте ее график.

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Найди в решебнике сейчас среди 16 тысяч задач с полным решением: