Производящая функция

Для случайной величины $\xi$ производящая функция моментов (сокращенно ПФМ) определяется следующим образом:

$$M_{\xi}(t)=M[e^{t\xi}].$$

Для дискретной случайной величины с законом вида $(x_i,p_i)$ ПФМ выражается как

$$M_{\xi}(t)=M[e^{t\xi}]=\sum_i e^{tx_i}\cdot p_i.$$

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$:

$$M_{\xi}(t)=M[e^{t\xi}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\cdot f(x)\,dx.$$

Производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа от плотности распределения случайной величины.

По известной ПФМ можно вычислять моменты случайной величины по формуле:

$$M[\xi^n] = \frac{d^n}{dx^n} M_{\xi}(t)|_{t=0}$$

ПФМ однозначно определяет распределение случайной величины. ПФМ суммы независимых случайных величин равна произведению их проиводящих функций моментов. Производящая функция существует только в случае существования всех моментов, а характеристическая функция - всегда.

В этом разделе вы найдете примеры нахождения производящей функции для разных законов распределения, в том числе для заданных произвольно случайных величины (см. задачи 3 и 4), а также пример решения обратной задачи - по имеющейся производящей функции восстановить закон распределения случайной величины.

Примеры решений: производящая функция

Задача 1. Найти производящую функцию моментов для случайной величины, имеющей геометрическое распределение. Вычислить с помощью найденной функции математическое ожидание и дисперсию.

Задача 2. Найти производящую функцию моментов для случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Вычислить с помощью найденной функции математическое ожидание и дисперсию.

Задача 3. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения.
x=-2 x=0 x=2
1/4 1/2 1/4
Найти производящую функцию моментов случайной величины X и с ее помощью вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Задача 4. Абсолютно непрерывная случайная величина имеет плотность распределения $$p(x)= \left\{ \begin{array}{l} \sin(x)/2,\ x \in[0;\pi],\\ 0,\ x \not\in[0;\pi] \\ \end{array} \right.$$ Найти производящую функцию моментов.

Задача 5. Задана производящая функция вероятностей $p(t)=t(pt+q)^n$. Найти ряд и функцию распределения соответствующей случайной величины.