Решение задачи по формуле Лапласа

Задача 1: В жилом доме имеется $n$ ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между $m1$ и $m2$. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди $n$ и его соответствующую вероятность.
$n = 6400, m1 = 3120, m2 = 3200$.

Решение: Используем интегральную теорему Лапласа:
$$P_n(m1, m2)=\Phi\left(\frac{m2-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\left(\frac{m1-np}{\sqrt{npq}}\right),$$ где $n = 6400, p = 0,5, q = 1-p = 0,5, m1 =3120, m2 = 3200$, $\Phi$ - функция Лапласа (значения берутся из таблицы). Подставляем: $$P_{6400}(3120, 3200)= \Phi\left(\frac{3200-6400\cdot 0,5}{\sqrt{6400\cdot 0,5\cdot 0,5}}\right)-\Phi\left(\frac{3120-6400\cdot 0,5}{\sqrt{6400\cdot 0,5\cdot 0,5}}\right)=$$ $$=\Phi\left(0\right) - \Phi\left(-2\right)=0+\Phi(2)=0,4772.$$

Найдем наивероятнейшее число $m0$ включенных ламп среди $n$ из неравенства: $$np-q \leq m0 \leq np+p,$$ $$6400\cdot 0,5-0,5 \leq m0 \leq 6400\cdot 0,5+0,5,$$ $$3199,5 \leq m0 \leq 3200,5.$$ Отсюда $m0=3200$.

Найдем вероятность по локальной теореме Лапласа: $$P_n(m0)=\frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi \left(\frac{m0-np}{\sqrt{npq}}\right).$$ Подставляем: $$P_{6400}(3200)=\frac{1}{\sqrt{6400\cdot 0,5\cdot 0,5}} \varphi \left(\frac{3200-6400\cdot 0,5}{\sqrt{6400\cdot 0,5\cdot 0,5}}\right) =$$ $$= 0,025 \cdot \varphi(0)= 0,025 \cdot 0,3989=0,00998.$$

Ответ: 0,4772; 3200; 0,00998.