Решение задачи про экспедицию

Задача 1: Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события
$А1$ = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),
$А2$ = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),
$А3$ = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),
по условию $P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8$.

Найдем вероятность события $Х$ = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если

• или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,
  
• или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,
  
• или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 2.
  

Таким образом, $$X=A1\cdot \overline{A2}\cdot \overline{A3}+\overline{A1}\cdot A2\cdot \overline{A3}+\overline{A1}\cdot \overline{A2}\cdot A3.$$ Так как события $А1, А2, А3$ - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем $$P(X)=P(A1)\cdot P(\overline{A2})\cdot P(\overline{A3})+P(\overline{A1})\cdot P(A2)\cdot P(\overline{A3})+P(\overline{A1})\cdot P(\overline{A2})\cdot P(A3)=$$ $$=0,95\cdot 0,1\cdot 0,2 + 0,05\cdot 0,9 \cdot 0,2 +0,05 \cdot 0,1 \cdot 0,8=0,032.$$
Найдем вероятность события $Y$=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие $\overline{Y}$=(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события $$P(\overline{Y})=P(A1 \cdot A2 \cdot A3)=P(A1)\cdot P(A2) \cdot P(A3)= 0,95\cdot 0,9 \cdot 0,8 = 0,684.$$ Тогда вероятность события $Y$: $$P(Y)=1-P(\overline{Y})=1-0,684=0,316.$$ Ответ: 0,032; 0,316.