Формула числа размещений с повторениями

Пусть имеется $k$ различных шаров, и их нужно разложить по $n$ различным ящикам (на число шаров в ящиках ограничений нет - ящик может вместить как все шары, так и остаться пустым).

Берем последовательно каждый из $k$ шаров. Размещаем его в любой из $n$ ящиков - это можно сделать $n$ способами (все ящики одинаково привлекательны:)). И так повторяем $k$ раз для всех шаров. Получится произведение из $k$ сомножителей:

$$\overline{A}_n^k=n\cdot n\cdot ... \cdot n = n^k.$$

Это и есть число размещений с повторениями из $n$ объектов по $k$. Более содержательная и сложная формула - размещений без повторений - рассмотрена здесь.

Примеры решений

Рассмотрим типичные задачи на эту комбинаторную формулу.

Пример 1. В лифт 8-этажного дома вошли 4 пассажира. Сколькими способами они могут выйти (выход возможен на любом этаже, начиная со второго).

Решение. Сначала порассуждаем. Рассмотрим пассажира, у него есть 7 способов выбрать этаж для выхода (2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8). И так поступает каждый из пассажиров, поэтому способов выхода $N=7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 =7^4=2401$.

Или иначе, с помощью формулы: считаем, что у нас есть $n=7$ этажей и на них нужно разместить произвольно $k=4$ пассажиров, то по формуле размещений с повторениями $N=\overline{A}_7^4= 7^4=2401$.

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр?

Решение. Пусть у нас есть $n=5$ нечетных цифр (1, 2, 3, 4, 5). Их нужно расставить на $k=3$ места (так как число трехзначное: единицы, десятки, сотни). По формуле размещений с повторениями $N=\overline{A}_5^3= 5^3=125$ чисел.

Найти число размещений c повторениями из n элементов по k

Чтобы вычислить $\overline{A}_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Введите числа n, k и нажимайте на кнопку Вычислить:

Видеоролик о размещениях с повторениями

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы размещений: как использовать Excel для нахождения числа размещений с повторениями, как решать типовые задачи.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

• Онлайн-учебник по теории вероятностей
• Как решать задачи по комбинаторике?
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Решить теорию вероятности на заказ

Поищите готовые задачи в решебнике: