Processing math: 100%

Учебник по теории вероятностей

1.9. Формула Пуассона

Понравилось? Добавьте в закладки

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0.97999 вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Pn(k)=λkk!eλ.

Здесь λ=np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p0,1 и np10. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).

Бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона

Примеры решений на формулу Пуассона

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: n=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.

Искомая вероятность после подстановки в формулу:

P1000(3)=λ33!eλ=233!e20,18.

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: n=500, p=0,004, λ=np=2.

По теореме сложения вероятностей получаем вероятность того, что повреждено меньше 3 изделий, то есть 0, 1 или 2 изделия:

P=P500(0)+P500(1)+P500(2)==200!e2+211!e2+222!e2==(1+2+4/2)e20,68.

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: n=1000, p=0,003, λ=np=3.

Чтобы найти вероятность P1000(k>2) того, что магазин получит более двух разбитых бутылок, используем переход к противоположному событию (разбито не более 2 бутылок, то есть 0, 1 или 2):

P1000(k>2)=1P1000(k2)=1(P1000(0)+P1000(1)+P1000(2))==1(300!e3+311!e3+322!e3)==1(1+3+9/2)e30,568.

Как считать по формуле Пуассона в Эксель

Видео о решении задач с помощью формулы Пуассона

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Полезные ссылки


Окажем консультацию по теории вероятности