Учебник по теории вероятностей

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: $n=1000$, $p=0,002$, $\lambda=np=2$, $k=3$.

Искомая вероятность после подстановки в формулу:

$$ P_{1000}(3)=\frac{\lambda^3}{3!}\cdot e^{-\lambda}=\frac{2^3}{3!}\cdot e^{-2} \approx 0,18. $$

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: $n=500$, $p=0,004$, $\lambda=np=2$.

По теореме сложения вероятностей получаем вероятность того, что повреждено меньше 3 изделий, то есть 0, 1 или 2 изделия:

$$ P=P_{500}(0)+P_{500}(1)+P_{500}(2) = \\ =\frac{2^0}{0!}\cdot e^{-2} + \frac{2^1}{1!}\cdot e^{-2} + \frac{2^2}{2!}\cdot e^{-2} =\\ = (1+2+4/2)\cdot e^{-2} \approx 0,68. $$

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: $n=1000$, $p=0,003$, $\lambda=np=3$.

Чтобы найти вероятность $P_{1000}(k\gt 2)$ того, что магазин получит более двух разбитых бутылок, используем переход к противоположному событию (разбито не более 2 бутылок, то есть 0, 1 или 2):

$$ P_{1000}(k\gt 2) = 1 - P_{1000}(k\le 2) = 1 - (P_{1000}(0)+P_{1000}(1)+P_{1000}(2)) = \\=1 - \left(\frac{3^0}{0!}\cdot e^{-3} + \frac{3^1}{1!}\cdot e^{-3} + \frac{3^2}{2!}\cdot e^{-3} \right) =\\ =1 - \left(1 + 3 + 9/2 \right)\cdot e^{-3} \approx 0,568. $$