Учебник по теории вероятностей
1.9. Формула Пуассона
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0.97999 вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
Pn(k)=λkk!⋅e−λ.Здесь λ=n⋅p обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для p≤0,1 и np≤10. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).
Бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона
Примеры решений на формулу Пуассона
Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
Решение. По условию дано: n=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.
Искомая вероятность после подстановки в формулу:
P1000(3)=λ33!⋅e−λ=233!⋅e−2≈0,18.Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.
Решение. По условию дано: n=500, p=0,004, λ=np=2.
По теореме сложения вероятностей получаем вероятность того, что повреждено меньше 3 изделий, то есть 0, 1 или 2 изделия:
P=P500(0)+P500(1)+P500(2)==200!⋅e−2+211!⋅e−2+222!⋅e−2==(1+2+4/2)⋅e−2≈0,68.Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
Решение. По условию дано: n=1000, p=0,003, λ=np=3.
Чтобы найти вероятность P1000(k>2) того, что магазин получит более двух разбитых бутылок, используем переход к противоположному событию (разбито не более 2 бутылок, то есть 0, 1 или 2):
P1000(k>2)=1−P1000(k≤2)=1−(P1000(0)+P1000(1)+P1000(2))==1−(300!⋅e−3+311!⋅e−3+322!⋅e−3)==1−(1+3+9/2)⋅e−3≈0,568.Как считать по формуле Пуассона в Эксель
Видео о решении задач с помощью формулы Пуассона
Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.
Полезные ссылки
- Далее: Теоремы Муавра-Лапласа
- Назад: Наивероятнейшее число успехов
- Примеры на формулы Бернулли и Пуассона
- Учебник по теории вероятностей
- Скачать формулы по теории вероятностей