Методы оптимизации: примеры и задачи

Методы оптимизации для чайников

Задачи оптимизации заключаются в отыскании наибольшего (или наименьшего) значения некоторой целеваой функции, при этом методы исследования и решения задач существенно зависит от вида самой функции, а также от ограничений, которые накладываются дополнительно.

На этой странице мы рассмотрим не весь спектр задач оптимизации, а только поиск экстремумов (а также наименьших/наибольших) значений для дифференцируемых функций нескольких переменных на всем пространстве или в некоторйо области, задаваемой ограничениями (линейными и нет).

Другие задачи оптимизации вы можете найти в соответствующих разделах: нелинейное программирование, Многокритериальная оптимизация, Динамическое программирование, Вариационное исчисление и т.д.

Методы оптимизации: задачи с решениями

Задача 1. Для заданной функции без ограничений найти стационарные точки, проверить их на экстремальность, а также найти все локальные и глобальные минимумы и максимумы

$$f(x_1,x_2)=x_1^3+x_2^3-3x_1x_2 \to extr.$$

Задача 2. Найти условные экстремумы функции

$$z=xy^2, \quad x+2y=1$$

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области

$$z=xy, \quad x^2+y^2 \le 1.$$

Задача 4. Методом множителей Лагранжа найти и определить тип экстремума функции u при заданных ограничениях

$$u=xy+yz+xz,\\ x+y+2z+2=0$$

Задача 5. Решить задачу выпуклого программирования, используя теорему Куна-Таккера:

$$2x-x^2+y \to \max,\\ x^2+y^2 \le 16,\\ 3x+2y \le 1,\\ x,y \ge 0.$$

Задача 6. Исследовать функцию двух переменных на экстремум, анализируя необходимые и достаточные условия

$$f(x)=x_1^2+2x_2^2+x_3;\\ g_1(x)=x_1+4x_2-x_3-2=0,\quad g_2(x)=2x_1-4x_2+5=0$$

Задача 7. Найти минимум функции двух переменных методом градиентного спуска с постоянным шагом, проверив применимость метода к заданной функции. Для решения составить компьютерную программу на любом языке программирования.

$$f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+1}+\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2, \quad x_0=(1,2).$$

Консультации и помощь

Нужно выполнить контрольную работу или задания из практикума по оптимизации и смежным предметам? Нет проблем - примем заказ от очников и заочников любых ВУЗов! Стоимость консультации по решению - от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Может быть интересно: