Примеры решений задач: Ряды

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры: нахождение суммы ряда, исследование числовых рядов на сходимость, нахождение области сходимости степенных рядов, разложение функций в ряд, решение дифференциальных уравнений с помощью рядов, вычисление определенных интегралов с помощью рядов.

Трудности с задачами? МатБюро поможет вам: контрольные работы по рядам.

Решения рядов онлайн

Задача 1. Исходя из определения найти сумму ряда $$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2+6n+8}$$

Задача 2. Найти область сходимости указанного ряда. Ответ записать в виде промежутков и их объединений $$\sum_{n=1}^{\infty}8^nx^{3n}\sin(x/n).$$

Задача 3. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям $$y''=x^2y-y^2, \quad y(0)=1, \ y'(0)=0$$

Задача 4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав почленно $$\int\limits_0^{0,25} \frac{\sin x}{x}\, dx$$

Задача 5. Исследовать сходимость числового ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{\sqrt{n 2^n}}.$$

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2 n}{n^2 +1}.$$

Задача 7. Разложить в ряд по степеням $x$ (с указанием области сходимости ряда) $y=e^x \cos(x)$.

Задача 8. Используя ряд Маклорена для функции, выразить величину $A=\sqrt[3]{36}$ в виде сходящегося ряда. Найти приближенное значение этой величины, ограничиваясь двумя первыми членами ряда. Оценить погрешность.

Задача 9. Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-5)\ln^2 (4n-7)}.$$