Примеры решений задач по теории функций комплексной переменной

В этом разделе вы найдете готовые задания по разным разделам ТФКП (теории функций комплексной переменной): проверка аналитичности функций, восстановление функции по одной из частей (мнимой или действительной), разложение в ряд, вычисление вычетов, нахождение интегралов разных типов.

Если вам нужна помощь в выполнении своей домашней работы по ТФКП, мы будем рады помочь: стоимость задания от 80 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление, отзывы. Узнайте подробнее о том, как мы выполняем задания по ТФКП на заказ.

Еще полезные ссылки для изучения:

• Примеры по комплексным числам с решением
• Решенные контрольные по ТФКП
• Решенные задачи по операционному исчислению

Гармонические (аналитические) функции. Решения задач

Задача 1. Показать, что данные функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ гармонические. Найти по заданной функции $u(x,y)$ или $v(x,y)$ ей сопряженную: $u(x,y)=\cos x ch y, v(0,0)=0.$

Задача 2. Исследуйте на моногенность и голоморфность $f(z) = (Re z)^2$.

Задача 3. Найти аналитическую функцию $f(z)$, если задана ее мнимая часть $Im f(z)=10xy-6y$, $f(1/5)=-1.$

Задача 4. Доказать, что $f(z)=\sin(z/3)$ - аналитическая функция и найти производную в точке $z_0=\pi i/6.$

Ряды Лорана и Тэйлора. Решения задач

Задача 5. Разложить функцию $f(z)$ по степеням $(z-z_0)$ в ряд Тейлора или Лорана во всех областях на плоскости, где такое разложение возможно. $$f(z)=\frac{z^2+3}{z^2+2z}, \ z_0=1.$$

Задача 6. Разложить данную функцию в ряд Лорана в заданном кольце комплексной плоскости. Указать область сходимости полученного ряда: $$f(z)=\frac{1}{z+12}, \ 5\lt |z+5i| \lt 8.$$

Задача 7. Определить круг сходимости и исследовать сходимость в данных точках. $$\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{2^n (z-2)^n}{(n+1)^2}, \ z=0, z=2+i/2, z=2.1.$$

Вычеты функции и их применение. Решения задач

Задача 8. Найти вычеты функции относительно её полюсов: $$f(z) =\frac{1}{z^2+4}.$$

Задача 9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов: $$\int_{C} \frac{4}{(z^2+4)^2}dz, \quad C=\{ z: |z-i|=2\}.$$

Задача 10. Вычислить интеграл: $$\int_{L} \frac{dz}{z^2(z-1)}, \quad L=\{ z: |z-1-i|=5/4\}.$$

Задача 11. Вычислить контурный интеграл с помощью основной теоремы Коши о вычетах: $$\int_{L} \frac{\tan z+2}{4z^2+\pi z}dz, \quad L=\{ z: |z+1|=2\}.$$

Интегралы от функций комплексного переменного. Решения задач

Задача 12. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: $$\int_{ABC} (2z+1)dz, \quad AB:\{ y=x^2, 0 \le x \le 1\}, \quad BC \text{ - отрезок}, z_B=1+i, z_C=i.$$

Конформные отображения. Решения задач

Задача 13. Найдите взаимно-однозначное конформное отображение, переводящее $D_1$ на $D_2$: $$D_1=\{|z| \lt 1\}, \quad D_2=\{|z| \lt 1, Im z \gt 0\}.$$