Примеры решений задач по теории функций комплексной переменной
В этом разделе вы найдете готовые задания по разным разделам ТФКП (теории функций комплексной переменной): проверка аналитичности функций, восстановление функции по одной из частей (мнимой или действительной), разложение в ряд, вычисление вычетов, нахождение интегралов разных типов.
Если вам нужна помощь в выполнении своей домашней работы по ТФКП, мы будем рады помочь: стоимость задания от 80 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление, отзывы. Узнайте подробнее о том, как мы выполняем задания по ТФКП на заказ.
Еще полезные ссылки для изучения:
- Примеры по комплексным числам с решением
- Решенные контрольные по ТФКП
- Решенные задачи по операционному исчислению
Гармонические (аналитические) функции. Решения задач
Задача 1. Показать, что данные функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ гармонические. Найти по заданной функции $u(x,y)$ или $v(x,y)$ ей сопряженную: $u(x,y)=\cos x ch y, v(0,0)=0.$
Задача 2. Исследуйте на моногенность и голоморфность $f(z) = (Re z)^2$.
Задача 3. Найти аналитическую функцию $f(z)$, если задана ее мнимая часть $Im f(z)=10xy-6y$, $f(1/5)=-1.$
Задача 4. Доказать, что $f(z)=\sin(z/3)$ - аналитическая функция и найти производную в точке $z_0=\pi i/6.$
Ряды Лорана и Тэйлора. Решения задач
Задача 5. Разложить функцию $f(z)$ по степеням $(z-z_0)$ в ряд Тейлора или Лорана во всех областях на плоскости, где такое разложение возможно. $$f(z)=\frac{z^2+3}{z^2+2z}, \ z_0=1. $$
Задача 6. Разложить данную функцию в ряд Лорана в заданном кольце комплексной плоскости. Указать область сходимости полученного ряда: $$f(z)=\frac{1}{z+12}, \ 5\lt |z+5i| \lt 8. $$
Задача 7. Определить круг сходимости и исследовать сходимость в данных точках. $$\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{2^n (z-2)^n}{(n+1)^2}, \ z=0, z=2+i/2, z=2.1. $$
Вычеты функции и их применение. Решения задач
Задача 8. Найти вычеты функции относительно её полюсов: $$ f(z) =\frac{1}{z^2+4}. $$
Задача 9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов: $$\int_{C} \frac{4}{(z^2+4)^2}dz, \quad C=\{ z: |z-i|=2\}. $$
Задача 10. Вычислить интеграл: $$\int_{L} \frac{dz}{z^2(z-1)}, \quad L=\{ z: |z-1-i|=5/4\}. $$
Задача 11. Вычислить контурный интеграл с помощью основной теоремы Коши о вычетах: $$\int_{L} \frac{\tan z+2}{4z^2+\pi z}dz, \quad L=\{ z: |z+1|=2\}. $$
Интегралы от функций комплексного переменного. Решения задач
Задача 12. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: $$\int_{ABC} (2z+1)dz, \quad AB:\{ y=x^2, 0 \le x \le 1\}, \quad BC \text{ - отрезок}, z_B=1+i, z_C=i. $$
Конформные отображения. Решения задач
Задача 13. Найдите взаимно-однозначное конформное отображение, переводящее $D_1$ на $D_2$: $$D_1=\{|z| \lt 1\}, \quad D_2=\{|z| \lt 1, Im z \gt 0\}. $$
