Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю - двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(X\lt x, Y\lt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

$$f(x,y)= \frac{\partial ^2}{\partial x \partial y} F(x,y)$$

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

$$f(x)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy, \quad f(y)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx.$$

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 \le X \le x_2, y_1 \le Y \le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

$$f(x|y)=f_y(x)= \frac{f(x,y)}{f(y)}, \quad f(y|x)=f_x(y)= \frac{f(x,y)}{f(x)}$$

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

$$f(x,y) =f(x)\cdot f(y),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

$$F(x,y) =F(x)\cdot F(y).$$

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

$$cov (X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (x-M(X))(y-M(Y)) f(x,y) dxdy, \\ r_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}.$$

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы $$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} C, \mbox{ в треугольнике} O(0,0), A(4,0), B(4,1)\\ 0, \mbox{ в остальных точках} \\ \end{array} \right.$$ Найти:
$C, \rho_1(x), \rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_{xy}, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ - плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$f(x,y)=c\sqrt{xy}, \quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0)$$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y): $$F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0, \mbox{ при } x \le 0 \mbox{ или } y\le 0\\ (1-e^{-2x})(1-e^{-3y}), \mbox{ при } x \gt 0 \mbox{ и } y\gt 0\\ \end{array} \right.$$ Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) $$f(x,y)=C e^{-x^2-2xy-4y^2}$$ Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 \sin(x+y)$ в квадрате $0 \le x \le \pi/2$, $0 \le y \le \pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 \le x \le \pi/2$, $0 \le y \le \pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=\sin x \sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна $$f(x,y) = c(R-\sqrt{x^2+y^2}), \quad x^2+y^2 \lt R^2.$$ Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $a\lt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y $$f(x,y)=\frac{c}{36+9x^2+4y^2+x^2y^2}.$$ Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_{xy}$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности: