Биномиальный закон распределения

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, в которых встречается биномиальное распределение дискретной случайной величины - наиболее распространённое в учебниках и сборниках. Давайте научимся его опознавать и решать соответствующие задачи.

Краткая теория

Биномиальным называют распределение количества «успехов» в последовательности из $n$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $p$.

Иначе говоря, пусть происходит $n$ независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью $p$. Тогда случайная величина $X$ - количество испытаний, в которых появилось событие, имеет биномиальное распределение вероятностей.

Она может принимать целые значения от 0 (событие не произошло ни разу) до $n$ (событие произошло во всех испытаниях). Формула для вычисления соответствующих вероятностей - уже известная нам формула Бернулли для схемы повторных независимых испытаний:

$$ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, k=0,1,2,...,n. $$

Для биномиального распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии:

$$M(X)=np, \quad D(X)=npq, \quad \sigma(X)=\sqrt{npq}.$$

А теперь перейдем к примерам и разберем "на пальцах", что за испытания и события имеются в виду, и как применять формулы, приведенные выше.

Примеры решенных задач

Задача 1. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.

Задача 2. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено четыре варианта ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти M(X), D(X).

Задача 3. На контроль качества медицинских препаратов поступила партия из 8 штук. Вероятность того, что препарат окажется некачественным, равна 0,35.
А) найти вероятности $P_n(k)$ того, что число некачественных препаратов $k$ в партии составляет 0, 1, …, 8.
Б) построить ломаную линию с вершинами в точках $P_n(k)$.
В) найти наивероятнейшее число некачественных препаратов.

Задача 4. Наблюдение за районом осуществляется тремя радиолокационными станциями (РЛС). В район наблюдений попал объект, который обнаруживается любой радиолокационной станцией с вероятностью 0,2.
Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа РЛС, обнаруживших объект.
Найти вероятность того, что их будет не менее двух.

Задача 5. Составить закон распределения случайной величины $X$. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики $М(Х), D(Х), \sigma(X)$.
В партии 10% бракованных изделий. Наудачу отобрано 5 изделий. $X$ - число бракованных изделий среди отобранных. Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону.

Задача 6. Стрелок производит 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. За каждое попадание стрелку засчитывается 10 очков. Найти закон распределения числа засчитанных очков.

Задача 7. Опыт состоит из трех независимых подбрасываний одновременно трех монет, каждая из которых с одинаковой вероятностью падает гербом или цифрой вверх.
Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа одновременного выпадения двух гербов.
Найти вероятность того, что два герба одновременно выпадут хотя бы один раз.

Задача 8. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины $X$ - числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Задача 9. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х - числа мальчиков в семье с 4 детьми. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 10. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,6. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X числа появления события А в трех опытах. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Более 16000 подробно решенных и оформленных задач. Найди в решебнике сейчас: