Учебник по теории вероятностей

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

• бросание монеты или игрального кубика (вероятности выпадения герба/решки или определенной цифры одинаковы в каждом броске);
• извлечение из урны шара при условии, что вынутый шар после записи его цвета кладется обратно в урну (то есть состав шаров в урне не меняется и не меняется вероятность вынуть шар нужного цвета);
• включение приборов (ламп, станков и т.п.) с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждого;
• повторение стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой и т.д.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем $n$ испытаний Бернулли. Это означает, что все $n$ испытаний независимы; вероятность появления события $А$ в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события $А$ в единичном испытании буквой $р$, т.е. $p=P(A)$, а вероятность противоположного события (событие $А$ не наступило) - буквой $q=P(\overline{A})=1-p$.

Тогда вероятность того, что событие $А$ появится в этих $n$ испытаниях ровно $k$ раз, выражается формулой Бернулли

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \quad q=1-p.$$

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Онлайн-калькуляторы для формулы Бернулли

Некоторые наиболее популярные типы задач, в которых используется формула Бернулли, разобраны в статьях и снабжены онлайн-калькулятором, вы можете перейти к ним по ссылкам:

• Задача про партии в шахматы
• Задача про выстрелы
• Задача про мальчиков и девочек
• Задача про лотерейные билеты
• Задача о наивероятнейшем значении
• Формула Пуассона

Примеры задач с решениями

Еще больше примеров решений

Надо заметить, что использование биномиального закона при большом числе испытаний вычислительно трудно. Поэтому с возрастанием значений $n$ становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.

Видеоурок про формулу Бернулли

Для тех, кому нагляднее последовательное видеообъяснение, 15-минутный ролик: