Решение задач про вероятность рождения мальчиков
Конечно, теория вероятности не может дать ответ на сакральный вопрос "Кто родится, мальчик или девочка?" (равно как и на не менее популярный вопрос "Как выиграть в лотерею?"), тут придется положиться на природу/случай. А мы рассмотрим простую учебную задачу:
Вероятность рождения мальчика примерно равна p. В семье n детей. Найти вероятность того, что из них ровно k мальчиков (соответственно, n−k девочек).
Применяем формулу Бернулли и получаем:
Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅pk⋅qn−k.(1)Здесь Ckn - число сочетаний из n по k.
Калькулятор для решения задачи
В семье n= детей. Вероятность рождения мальчика равна p=. Найти вероятность того, что в семье будет ровно k= мальчиков.
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач о рождении детей в схеме Бернулли, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о рождении мальчиков и девочек
Рассмотрим несколько типовых примеров.
Пример 1. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди них три мальчика. Вероятность рождения мальчика равна 0,5.
Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (рождениях детей), всего родилось n=5 детей, вероятность того, что родился мальчик p=0,5, вероятность рождения девочки q=1−p=1−0,5=0,5. Нужно найти, что будет ровно k=3 мальчика. Подставляем все в формулу (1) и получаем: P5(3)=C35⋅0,53⋅0,52=10⋅0,55=0,313.
Пример 2. Вероятность того, что родившийся ребенок – мальчик, равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье из шести детей: одна или две девочки.
Формализуем задачу, выписываем параметры: n=6 (детей), p=0,51 (вероятность рождения мальчика), k=5 или k=4 (будет 1 девочка и 5 мальчиков, или 2 девочки и 4 мальчика). Получаем:
P=P6(4)+P6(5)=C46⋅0,514⋅0,492+C56⋅0,515⋅0,491==15⋅0,514⋅0,492+6⋅0,515⋅0,491=0,345.Пример 3. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков.
В семье n=10 детей, вероятность рождения мальчика и девочки одинакова, то есть p=q=0,5. Найдем вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков, то есть 0, 1, 2 или 3 мальчика. Сначала найдем эти вероятности отдельно по формуле (1) каждую:
P10(0)=C010⋅0,50⋅0,510=0,001.Так как события несовместные, нужная вероятность может быть найдена по формуле сложения вероятностей: P10(0≤k≤3)=P10(0)+P10(1)+P10(2)+P10(3)==0,001+0,01+0,044+0,117=0,172.
Пример 4. Вероятность рождения мальчика и девочки одинаковы. Какова вероятность, что среди 6 наудачу отобранных новорожденных число мальчиков и девочек одинаково.
Выписываем из условия задачи значения переменных: n=6 (количество детей), p=q=0,5 (вероятность рождения мальчика и девочки одинаково), k=n/2=3 (родится 3 девочки и 3 мальчика, поровну). Получаем:
P6(3)=C36⋅0,53⋅0,53=20⋅0,56=0,313.Полезные ссылки
- Решения разных задач о стрелках и выстрелах
- Примеры контрольных по теории вероятностей
- Контрольная по теории вероятностей на заказ
Найдите готовые задачи в решебнике: