Processing math: 100%

Решение задач про вероятность рождения мальчиков

Понравилось? Добавьте в закладки

Конечно, теория вероятности не может дать ответ на сакральный вопрос "Кто родится, мальчик или девочка?" (равно как и на не менее популярный вопрос "Как выиграть в лотерею?"), тут придется положиться на природу/случай. А мы рассмотрим простую учебную задачу:

Вероятность рождения мальчика примерно равна p. В семье n детей. Найти вероятность того, что из них ровно k мальчиков (соответственно, nk девочек).

Применяем формулу Бернулли и получаем:

Pn(k)=Cknpk(1p)nk=Cknpkqnk.(1)

Здесь Ckn - число сочетаний из n по k.


Калькулятор для решения задачи

В семье n= детей. Вероятность рождения мальчика равна p=. Найти вероятность того, что в семье будет ровно k= мальчиков.


Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач о рождении детей в схеме Бернулли, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.


Примеры решений задач о рождении мальчиков и девочек

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди них три мальчика. Вероятность рождения мальчика равна 0,5.

Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (рождениях детей), всего родилось n=5 детей, вероятность того, что родился мальчик p=0,5, вероятность рождения девочки q=1p=10,5=0,5. Нужно найти, что будет ровно k=3 мальчика. Подставляем все в формулу (1) и получаем: P5(3)=C350,530,52=100,55=0,313.


Пример 2. Вероятность того, что родившийся ребенок – мальчик, равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье из шести детей: одна или две девочки.

Формализуем задачу, выписываем параметры: n=6 (детей), p=0,51 (вероятность рождения мальчика), k=5 или k=4 (будет 1 девочка и 5 мальчиков, или 2 девочки и 4 мальчика). Получаем:

P=P6(4)+P6(5)=C460,5140,492+C560,5150,491==150,5140,492+60,5150,491=0,345.

Пример 3. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков.

В семье n=10 детей, вероятность рождения мальчика и девочки одинакова, то есть p=q=0,5. Найдем вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков, то есть 0, 1, 2 или 3 мальчика. Сначала найдем эти вероятности отдельно по формуле (1) каждую:

P10(0)=C0100,500,510=0,001.
P10(1)=C1100,510,59=0,01.
P10(2)=C2100,520,58=0,044.
P10(3)=C3100,530,57=0,117.

Так как события несовместные, нужная вероятность может быть найдена по формуле сложения вероятностей: P10(0k3)=P10(0)+P10(1)+P10(2)+P10(3)==0,001+0,01+0,044+0,117=0,172.


Пример 4. Вероятность рождения мальчика и девочки одинаковы. Какова вероятность, что среди 6 наудачу отобранных новорожденных число мальчиков и девочек одинаково.

Выписываем из условия задачи значения переменных: n=6 (количество детей), p=q=0,5 (вероятность рождения мальчика и девочки одинаково), k=n/2=3 (родится 3 девочки и 3 мальчика, поровну). Получаем:

P6(3)=C360,530,53=200,56=0,313.


Правильно и подробно решим ваши задачи

Полезные ссылки

Найдите готовые задачи в решебнике: