Схема Бернулли в вычислении вероятностей

В статье о гипергеометрической схеме мы рассмотрели испытания, где выбор объектов (шаров, билетов, книг и т.п.) производится без возвращения. Теперь перейдем к случаю, когда после каждого выбора объект возвращается обратно, то есть каждый опыт будет проводится в одних и тех же условиях. В теории вероятностей это называется схемой независимых повторных испытаний или схемой Бернулли. Например, вынули шар, посмотрели цвет, положили обратно; вынули лампу, проверили работоспособность, положили обратно и т.п.

К этому же классу задач можно отнести еще большую группу задач, где проверяется/испытывается несколько одинаковых объектов (например, бросается 10 монет, проверяется 5 моторов, включается 8 лампочек, покупается 3 лотерейных билета и т.п.), при этом вероятность того, что объект удовлетворит определенному условию (выпадет герб, мотор заработает, лампочка перегорит, билет будет с выигрышем и т.п.) одинакова для каждого объекта и не зависит от состояния остальных (монеты падают или лампы перегорают независимо друг от друга).

Для большей ясности, рассмотрим две задачи:

1. Среди лотерейных билетов 13 выигрышных и 10 билетов без выигрыша. Взято 7 билетов. Какова вероятность, что среди них 5 выигрышных?

2. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность того, что выиграет хотя бы один билет из 5 купленных?

В первой задаче мы выбираем последовательно 7 билетов, без возвращения (см. пример расчета такой вероятности тут), а во второй имеется 5 одинаковых объектов (билетов), вероятность выигрыша по каждому одинакова, значит, речь идет как раз о схеме независимых повторных испытаний.

Еще: видеоуроки по задачам по схеме Бернулли

Онлайн-калькулятор: формула Бернулли

В общем виде схема повторных испытаний записывается в виде задачи:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых равна $p$. Найти вероятность, что событие $A$ наступит в точности $k$ раз.

Вероятность вычисляется по формуле Бернулли: $$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}. \qquad (1)$$

Калькулятор Бернулли

Производится $n=$ опытов, вероятность наступления события в каждом из которых равна $p=$. Найти вероятность того, что событие наступит ровно $k=$ раз.

Подробнее про формулу Бернулли и примеры на ее применение можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем частным случаям задач, каждая из которых может быть решена по этой формуле. Переходя по нужной ссылке ниже, вы найдете общую постановку задачи, несколько решенных примеров, а также калькулятор для решения своей задачи:

Задачи на формулу Бернулли

• Задача про партии в шахматы
• Задача про выстрелы
• Задача про мальчиков и девочек
• Задача про лотерейные билеты



• Задача о наивероятнейшем значении
• Калькулятор: формула Пуассона
• Калькулятор: формулы Лапласа



• Шаблон формулы Бернулли в Excel
• Шаблон формул Лапласа и Пуассона в Excel

Другие полезные статьи по теории вероятностей:

• Как найти математическое ожидание случайной величины?
• Как найти вероятность в задачах про монеты?
• Как найти вероятность в задачах про подбрасывание игральных кубиков?