Решение задач про вероятность попаданий при выстрелах

Общая постановка задачи следующая:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна $p$. Производится $n$ выстрелов. Найти вероятность того, что цель будет поражена в точности $k$ раз (будет $k$ попаданий).

Применяем формулу Бернулли и получаем:

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}. \qquad (1)$$

Здесь $C_n^k$ - число сочетаний из $n$ по $k$.

Если в задаче речь идет о нескольких стрелках с разными вероятностями попадания в цель, теорию, примеры решения и калькулятор вы можете найти здесь.

Калькулятор для решения задачи

Сделано $n=$ выстрелов по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле одинакова и равна $p=$. Найти вероятность того, что окажется ровно $k=$ попаданий в цель.

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач о выстрелах в схеме Бернулли, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о попаданиях в цель в серии выстрелов

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,705. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий.

Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах по мишени), всего производится $n=7$ выстрелов, вероятность попадания при каждом $p=0,705$, вероятность промаха $q=1-p=1-0,705=0,295$. Нужно найти, что будет ровно $k=5$ попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:

$$P_7(5)=C_{7}^5 \cdot 0,705^5 \cdot 0,295^2 = 21\cdot 0,705^5 \cdot 0,295^2= 0,318.$$

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится четыре независимых выстрела. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

Изучаем задачу и выписываем параметры: $n=4$ (выстрела), $p=0,4$ (вероятность попадания), $k \ge 1$ (будет хотя бы одно попадание). Используем формулу для вероятности противоположного события (нет ни одного попадания):

$$P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)=$$ $$=1-C_{4}^0 \cdot 0,4^0 \cdot 0,6^4 =1- 0,6^4=1- 0,13=0,87.$$

Вероятность попасть хотя бы один раз из четырех равна 0,87 или 87%.

Пример 3. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,3. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах мишень будет поражена от трех до шести раз.

В отличие от предыдущих задач, здесь нужно найти вероятность того, что число попаданий будет находится в некотором интервале (а не равно в точности какому-то числу). Но формула используется прежняя.

Найдем вероятность того, что мишень будет поражена от трех до шести раз, то есть будет или 3, или 4, или 5, или 6 попаданий. Данные вероятности вычислим по формуле (1):

$$P_6(3)=C_{6}^3 \cdot 0,3^3\cdot 0,7^3 = 0,185.$$ $$P_6(4)=C_{6}^4 \cdot 0,3^4\cdot 0,7^2 = 0,06.$$ $$P_6(5)=C_{6}^5 \cdot 0,3^5\cdot 0,7^1 = 0,01.$$ $$P_6(6)=C_{6}^6 \cdot 0,3^6\cdot 0,7^0 = 0,001.$$

Так как события несовместные, искомая вероятность может быть найдена по формуле сложения вероятностей:

$$P_6(3 \le k \le 6 )=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6)=$$ $$= 0,185+0,06+0,01+0,001=0,256.$$

Пример 4. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Обозначим вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие:
$A =$ (Из четырех выстрелов хотя бы один попадет в цель),
а также противоположное ему событие, которое можно записать как:
$\overline{A} =$ (Все 4 выстрела будут мимо цели, ни одного попадания).

Запишем формулу для вероятности события $A$. Выпишем известные значения: $n=4$, $P(A)=0,9984$. Подставляем в формулу (1) и получаем:

$$P(A)=1-P(\overline{A})=1-P_4(0)=1-C_{4}^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1-(1-p)^4=0,9984.$$

Решаем получившееся уравнение:

$$1-(1-p)^4=0,9984,\\ (1-p)^4=0,0016,\\ 1-p=0,2,\\ p=0,8.$$

Итак, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

Полезные ссылки

• Решения разных задач о стрелках и выстрелах
• Примеры контрольных по теории вероятностей
• Заказать контрольную по теории вероятностей

Найдите готовые задачи в решебнике: