Стационарные случайные процессы

Случайный процесс (или функция) называется станционарным, если его математическое ожидание постояенно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов $t_2-t_1$:

$$K_x(t_1, t_2)=k_x(t_2-t_1)=k_x(\tau).$$

Отсюда следует, что дисперсия станционарной случайной функции постоянна и равна $D_x=k_x(0).$

Для стационарной случайной функции вводят спектральную плотность $s_x(w)$, которая связана с корреляционной функцией $k_x(\tau)$ взаимно-обратными преобразованиями Фурье:

$$s_x(w)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)e^{-iw\tau} d\tau, \quad k_x(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s_x(w)e^{iw\tau} dw.$$

Эти формулы называют формулами Винера-Хинчина. В действительной форме они принимают вид:

$$s_x(w)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} k_x(\tau) \cos{w\tau} d\tau, \quad k_x(\tau)=2\int_{0}^{\infty} s_x(w) \cos{w\tau} dw.$$

Ранее: Примеры решений для случайных процессов.

Примеры решений

Задача 1. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции $X(t)$, если ее корреляционная функция имеет вид:

$$k_x(\tau)= \left\{ \begin{array}{l} 1-0,5|\tau|,\, |\tau| \le 2\\ 0,\, |\tau|\gt 2. \\ \end{array} \right.$$

Задача 2. Дана спектральная плотность $$S_q(w)= \left\{ \begin{array}{l} a,\, |w| \le N\\ 0,\, |w|\gt N. \\ \end{array} \right.$$ Определить корреляционную функцию $K_\xi(\tau)$ и дисперсию $D_\xi$.

Задача 3. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X(t), если ее корреляционная функция имеет вид: $k_x(\tau) = e^{-0,3|\tau|}$.

Задача 4. Найти одностороннюю $S(w)$ и двустороннюю $S^*(w)$ спектральную плотность стационарного случайного процесса с корреляционной функцией $k(\tau) = e^{-6\tau} \cos 2\tau$.

Задача 5. Случайная функция $X(t)$ имеет вид: $$X(t)=3+V_1 \cos wt +V_2 \sin wt,$$ где $V_1$ и $V_2$ – некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с дисперсиями $D_1=D_2=3$. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию $X(t)$. Определить, является ли $X(t)$ стационарной случайной функцией?

Задача 6. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подаётся стационарная случайная функция $Х(t)$ с математическим ожиданием $m_x$ и корреляционной функцией $k_x(\tau)$. Найти
1) математическое ожидание;
2) дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

$$Y'(t)+3Y(t)=3X'(t)+X(t), \, m_x=12, k_x(\tau)=e^{-2|\tau|}.$$