Решение задачи по формуле Бернулли

Задача 2: Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами $p = 0,2$ (вероятность того, что элемент откажет), $n = 5$ (число испытаний, то есть число элементов), $k$ (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для $n$ элементов отказ произойдет в $k$ элементах): $$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$$

Получаем
а) Вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти: $$P_5(3)=C_5^3 \cdot 0,2^3 \cdot 0,8^2=0,0512.$$ б) Вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять): $$P_5(k \geq 4)=P_5(4)+P_5(5)=C_5^4 \cdot 0,2^4 \cdot 0,8^1+C_5^5 \cdot 0,2^5 \cdot 0,8^0=$$ $$= 5 \cdot 0,2^4 \cdot 0,8+0,2^5=0,00672.$$ в) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни один элемент не откажет): $$P_5(k \geq 1)=1-P_5(k < 1)=1-P_5(0)=1-C_5^0 \cdot 0,2^0\cdot 0,8^5=1-0,8^5=0,67232.$$

Ответ: 0,0512; 0,00672; 0,67232.