Оптимизация в экономике: поиск экстремумов через производные

Условие:
Фирма имеет функцию общих издержек:
$$C(q) = 0.1q^3 - 2q^2 + 30q + 200$$
где $q$ — объем выпуска. Найти выпуск продукции, минимизирующий средние издержки $AC(q) = \frac{C(q)}{q}$.

Решение:

1. Функция средних издержек:
   $$AC(q) = 0.1q^2 - 2q + 30 + \frac{200}{q}$$
2. Производная $AC(q)$:
   $$AC'(q) = 0.2q - 2 - \frac{200}{q^2}$$
3. Приравниваем к нулю и решаем численно: $$q \approx 8.37$$

Экономический смысл:
При $q \approx 8.37$ средние издержки минимальны ($AC \approx 19.87$). Это точка эффективного производства для компании.

Условие:
Фирма производит товар с издержками $C(q) = q^2 + 10q + 100$. Цена товара фиксирована: $p = 50$ руб. Найти объем выпуска $q$, максимизирующий прибыль $\pi(q) = p \cdot q - C(q)$.

Решение:

1. Зададим функцию прибыли:
   $$\pi(q) = 50q - (q^2 + 10q + 100) = -q^2 + 40q - 100$$
2. Найдем первую производную, приравняем к нулю и придем к точке экстремума:
   $$\pi'(q) = -2q + 40 = 0 \implies q = 20$$
3. Проверка (знак второй производной говорит о характере экстремума, в данном случае - максимум):
   $$\pi''(q) = -2 < 0 \implies \text{максимум}$$

Экономический смысл:
При $q = 20$ прибыль максимальна ($\pi = 300$ руб.). Увеличение выпуска сверх 20 единиц приведет к убыткам из-за роста издержек.

Условие:
Прибыль от рекламы: $P(x) = 100\sqrt{x} - x$, где $x$ — затраты на рекламу (в тыс. руб.). Найти оптимальный бюджет.

Решение:

1. Производная:
   $$P'(x) = \frac{50}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \sqrt{x} = 50 \implies x = 2500$$
2. Проверка:
   $$P''(x) = -\frac{25}{x^{1.5}} < 0 \implies \text{максимум}$$

Экономический смысл:
При бюджете 2500 тыс. руб. прибыль достигает максимума ($P = 2500$ тыс. руб.). Дальнейшие траты на рекламу будут уже не так эффективны.

Условие:
Фермер имеет 100 га земли в пользовании. Его доход с посевов пшеницы задается формулой: $R_w(x) = 120x - 0.5x^2$, а с картофеля: $R_c(y) = 80y - 0.3y^2$. Как распределить землю между этими культурами $x + y = 100$?

Решение:

1. Выпишем формулу для совокупного дохода с обоих частей полей:
   $$R(x) = 120x - 0.5x^2 + 80(100 - x) - 0.3(100 - x)^2$$
   Упрощаем до многочлена:
   $$R(x) = -0.8x^2 + 80x + 5000$$
2. Находим производную, приравниваем к нулю и получаем:
   $$R'(x) = -1.6x + 80 = 0 \implies x = 50$$
   $$y = 100 - 50 = 50$$

Экономический смысл:
Оптимально засеять по 50 га каждой культуры. Максимальный доход при этом составит 7000.

Условие:
Государство вводит налог $t$ руб. на единицу товара. Спрос: $q(p) = 100 - p$, предложение: $q(p) = 2p$. Найти ставку $t$, максимизирующую налоговые сборы $T = t \cdot q$.

Решение:

1. Цена с налогом: $p_d = p_s + t$.
2. Равновесие: $100 - (p_s + t) = 2p_s \implies p_s = \frac{100 - t}{3}$.
3. Объем продаж: $q = 2p_s = \frac{200 - 2t}{3}$.
4. Налоговые сборы:
   $$T(t) = t \cdot q = \frac{200t - 2t^2}{3}$$
5. Производная:
   $$T'(t) = \frac{200 - 4t}{3} = 0 \implies t = 50$$

Экономический смысл:
При ставке 50 руб. сборы максимальны ($T \approx 1666.67$ руб.). Более высокие ставки сокращают объем продаж.