Замечательные пределы

Термин "замечательный предел" широко используется в учебниках и методических пособиях для обозначения важных тождеств, которые помогают существенно упростить работу по нахождению пределов.

Но чтобы суметь привести свой предел к замечательному, нужно к нему хорошенько приглядеться, ведь они встречаются не в прямом виде, а часто в виде следствий, снабженные дополнительными слагаемыми и множителями. Впрочем, сначала теория, потом примеры, и все у вас получится!

Другие решенные примеры с пределами

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел записывается так (неопределенность вида $0/0$):

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Следствия из первого замечательного предела

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}=\frac{a}{b}.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2/2}=1.$$

Примеры решений: 1 замечательный предел

Пример 1. Вычислить предел $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{8x}.$$

Решение. Первый шаг всегда одинаковый - подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

$$\left[ \frac{\sin 0}{0} \right] = \left[\frac{0}{0}\right].$$

Получили неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$, которую следует раскрыть. Если посмотреть внимательно, исходный предел очень похож на первый замечательный, но не совпадает с ним. Наша задача - довести до похожести. Преобразуем так - смотрим на выражение под синусом, делаем такое же в знаменателе (условно говоря, умножили и поделили на $3x$), дальше сокращаем и упрощаем:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{8x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}\frac{3x}{8x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (3x)}{3x}\frac{3}{8}=\frac{3}{8}.$$

Выше как раз и получился первый замечательный предел: $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (3x)}{3x} = \lim\limits_{y\to 0}\frac{\sin (y)}{y}=1, \text{ сделали условную замену } y=3x.$$ Ответ: $3/8$.

Пример 2. Вычислить предел $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos 3x}{\tan 2x\cdot \sin 4x}.$$

Решение. Подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

$$\left[ \frac{1-\cos 0}{\tan 0\cdot \sin 0}\right] =\left[ \frac{1-1}{ 0\cdot 0}\right] = \left[\frac{0}{0}\right].$$

Получили неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Преобразуем предел, используя в упрощении первый замечательный предел (три раза!):

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos 3x}{\tan 2x\cdot \sin 4x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{ 2 \sin^2 (3x/2)}{\sin 2x\cdot \sin 4x}\cdot \cos 2x =$$ $$= 2\lim\limits_{x\to 0}\frac{ \sin^2 (3x/2)}{(3x/2)^2} \cdot \frac{ 2x}{\sin 2x} \cdot \frac{ 4x}{ \sin 4x}\cdot \frac{ (3x/2)^2}{ 2x \cdot 4x} \cdot \cos 2x =$$ $$=2\lim\limits_{x\to 0} 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{ (9/4)x^2}{ 8x^2} \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac{ 9}{ 32} \lim\limits_{x\to 0} \cos 2x=\frac{9}{16}.$$

Ответ: $9/16$.

Пример 3. Найти предел $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (2x^3+3x)}{5x-x^5}.$$

Решение. А что если под тригонометрической функцией сложное выражение? Не беда, и тут действуем аналогично. Сначала проверим тип неопределенности, подставляем $x=0$ в функцию и получаем:

$$\left[ \frac{\sin (0+0)}{0-0}\right] = \left[\frac{0}{0}\right].$$

Получили неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Умножим и поделим на $2x^3+3x$:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (2x^3+3x)}{5x-x^5}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (2x^3+3x)}{(2x^3+3x)} \cdot \frac{2x^3+3x}{5x-x^5}=\lim\limits_{x\to 0} 1 \cdot \frac{2x^3+3x}{5x-x^5}= \left[\frac{0}{0}\right] =$$

Снова получили неопределенность, но в этом случае это просто дробь. Сократим на $x$ числитель и знаменатель:

$$=\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x^2+3}{5-x^4}= \left[\frac{0+3}{5-0}\right] =\frac{3}{5}.$$

Ответ: $3/5$.

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел записывается так (неопределенность вида $1^\infty$):

$$\lim\limits_{x\to \infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, \quad \text{или} \quad \lim\limits_{x\to 0} \left( 1+x\right)^{1/x}=e.$$

Следствия второго замечательного предела

$$\lim\limits_{x\to \infty} \left( 1+\frac{a}{x}\right)^{bx}=e^{ab}.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x -1}{x}=1.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x \ln a}=1, a>0, a \ne 1.$$ $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{a}-1}{ax}=1.$$

Примеры решений: 2 замечательный предел

Пример 4. Найти предел $$\lim\limits_{x\to \infty}\left( 1-\frac{2}{3x}\right)^{x+3}.$$

Решение. Проверим тип неопределенности, подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем:

$$\left[ \left( 1-\frac{2}{\infty}\right)^{\infty} \right] = \left[1^{\infty}\right].$$

Получили неопределенность вида $\left[1^{\infty}\right]$. Предел можно свести к второму замечательному. Преобразуем:

$$\lim\limits_{x\to \infty}\left( 1-\frac{2}{3x}\right)^{x+3} = \lim\limits_{x\to \infty}\left( 1+\frac{1}{(-3x/2)}\right)^{\frac{-3x/2}{-3x/2}(x+3)}=$$ $$= \lim\limits_{x\to \infty}\left(\left( 1+\frac{1}{(-3x/2)}\right)^{(-3x/2)}\right)^\frac{x+3}{-3x/2}=$$

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_{t\to \infty} \left( 1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e$, только $t=-3x/2$, поэтому

$$= \lim\limits_{x\to \infty}\left(e\right)^\frac{x+3}{-3x/2}= \lim\limits_{x\to \infty}e^\frac{1+3/x}{-3/2}=e^{-2/3}.$$

Ответ: $e^{-2/3}$.

Пример 5. Найти предел $$\lim\limits_{x\to \infty}\left( \frac{x^3+2x^2+1}{x^3+x-7}\right)^{x}.$$

Решение. Подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем неопределенность вида $\left[ \frac{\infty}{\infty}\right]$. А нам нужно $\left[1^{\infty}\right]$. Поэтому начнем с преобразования выражения в скобках:

$$\lim\limits_{x\to \infty}\left( \frac{x^3+2x^2+1}{x^3+x-7}\right)^{x} = \lim\limits_{x\to \infty}\left( \frac{x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1}{x^3+x-7}\right)^{x} = \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{(x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1)}{x^3+x-7}\right)^{x} =$$ $$= \lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}\right)^{x} = \lim\limits_{x\to \infty}\left(\left(1+\frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}\right)^{\frac{x^3+x-7}{2x^2-x+8}}\right)^{x \frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}}=$$

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_{t\to \infty} \left( 1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e$, только $t=\frac{x^3+x-7}{2x^2-x+8} \to \infty$, поэтому

$$= \lim\limits_{x\to \infty}\left(e\right)^{x \frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}}= \lim\limits_{x\to \infty}e^{ \frac{2x^2-x+8}{x^2+1-7/x}}= \lim\limits_{x\to \infty}e^{ \frac{2-1/x+8/x^2}{1+1/x^2-7/x^3}}=e^{2}.$$

Ответ: $e^{2}$.

Дополнительная информация

• Почему стоит заказать в МатБюро?
• Другие примеры решений пределов
• Контрольные по пределам на заказ