Формула числа перестановок с повторениями
Чтобы прийти к нужной формуле, используют одну из общеизвестных постановок задач:
1. Пусть имеется n различных шаров и k ящиков. Сколькими способами можно разложить шары по ящикам так, чтобы n1 шаров оказались в первом ящике, n2 шаров - во втором, ..., nk шаров - в k-ом ящике. n=n1+n2+...+nk.
2. Пусть имеется n объектов различных типов: n1 объектов первого типа, n2 объектов второго типа,... nk объектов k-го типа. Сколькими способами можно переставить все объекты между собой?
Будем переставлять n объектов всеми возможными способами (их будет n!). Но так как некоторые объекты совпадают, итоговое число будет меньше. В частности, n1 объектов первого типа можно переставлять между собой n1! способами, но они не меняют итоговую перестановку. Аналогично для всех остальных объектов, поэтому число перестановок с повторениями есть
Pn(n1,n2,...,nk)=n!n1!⋅n2!⋅...⋅nk!.Напомним, что символ n! называется факториалом, калькулятор и описание смотрите тут
Заметим, что для случая двух типов объектов (n=n1+n2) формула перестановок с повторениями дает как частный случай формулу сочетаний без повторений.
Примеры решений
Рассмотрим решение типовых задач.
Пример 1. Сколькими способами можно собрать гирлянду из 4 красных, 4 синих и 8 желтых флажков?
Решение. У нас имеется n1=4 объекта первого типа (красные флажки), n2=4 объекта второго типа (синие флажки) и n3=8 объектов третьего типа (желтые флажки). Все эти n=4+4+8=16 флажков нужно развесить на веревке всеми возможными способами. Применяем формулу числа перестановок с повторенями:
P16(4,4,8)=16!4!⋅4!⋅8!=900900.Пример 2. Сколькими способами можно разбить группу 10 друзей на команды из 2 бандитов, 2 полицейских, 1 сыщика и 5 прохожих для игры?
Решение. В самой задаче объекты (люди) уже разбиты по типам: n1=2, n2=2, n3=1, n4=5. Осталось лишь применить формулу. Тогда искомое число способов разбиться на персонажи равно:
P10(2,2,1,5)=10!2!⋅2!⋅1!⋅5!=7560.Калькулятор перестановок с повторениями онлайн
Введите число типов объектов K и затем количество объектов каждого типа n1, ..., nK.
ni |
Видеоролик о перестановках с повторениями в Excel
Посмотрите наш видеообзор для формулы перестановок с повторениями: как использовать Excel, как решать типовые задачи.
Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать
Полезные ссылки
- Как решать задачи по теории вероятностей
- Основные формулы комбинаторики
- Решенные примеры по теории вероятностей
- Заказать контрольную по ТВ
Решебник по комбинаторике и теории вероятностей: