Решения интегральных уравнений онлайн
В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное - функцию под знаком дифференциала:)).
Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:
$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:
$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ - однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.
Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.
Примеры решений интегральных уравнений
Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.
$$ X=L_2[0,\pi], \quad Ax(t)=\int_0^\pi K(t,s)x(s), \quad K(t,s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos kt \cos ks}{k^5}, y\in X. $$Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:
$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.
$$ y(x) = \int_1^x \frac{x}{t^2}y(t)dx+x^2. $$Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.
$$ y(x)=2-3\int_0^{\pi/2} \sin (x-2t) y(t)dt. $$Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.
$$ y(x)=x+\int_0^x(4 \sin(x-t)-x+t)y(t)dt. $$Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^{1/3}t^{2/3}$.
Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).
$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac{1}{2} \sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.
Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина
$$ y''+9y=x-\pi/6, \, y(0)=0, y(\pi/6)=0. $$См. также: Примеры по уравнениям математической физики
Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение
$$ y(x)=e^{-x}\sin x +\int_0^x e^{x-t}y(t)dt. $$См. также: Примеры по операционному исчислению
Помощь с интегральными уравнениями
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Дополнительная информация
Полезные ссылки
- Интегральные уравнения Краткая теория, примеры задач и задания для самостоятельного решения
- Методы математической физики. Интегральные уравнения Кратко теория, типовые примеры, задания
- Интегральные уравнения и вариационное исчисление Учебное пособие
- Интегральные уравнения Курс лекций
