Метод интегрирования по частям — пошаговый разбор

Метод интегрирования по частям — это мощный инструмент математического анализа, который позволяет вычислять интегралы, неподдающиеся простым методам (использованию замены переменной, табличных интегралов и свойства линейности). Этот метод применим, конечно, не во всех случаях, но довольно большой класс интегралов можно вычислить с его помощью. В статье мы разберем, когда применим метод интегрирования по частям, дадим пошаговый алгоритм и покажем его на примерах решений.

Вывод формулы интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на правиле произведения для производных. Если у нас есть две функции $u(x)$ и $v(x)$, то производная их произведения:

$$(u \cdot v)' = u' v + u v'.$$

Проинтегрировав обе части, получаем формулу:

$$\int u' v \, dx + \int u v' \, dx = u v.$$

Перенеся один интеграл вправо, приходим к ключевой формуле метода:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du, \quad (*)$$

где $dv = v' \, dx$, а $du = u' \, dx$.

Метод работает, если одну часть подынтегрального выражения легко продифференцировать (функцию $u$), а другую — проинтегрировать (функцию $dv$), подробнее об этом в следующем пункте.

Какие интегралы можно вычислить?

Перечислим самые распространённые классы интегралов, которые легко можно вычислить с помощью интегрирования по частям и напишем, какую часть подынтегрального выражения нужно принять за $u$, а какую за $dv$.

Во-первых, это интегралы от произведения многочлена на логарифмическую, показательную, тригонометрическую или обратно-тригонометрическую функцию:

1. $\int f(x) \cdot \ln^n(x) \, dx$, где $f(x)$ - некоторый многочлен.
   Например: $\int x \cdot \ln(x) \, dx$, $\int (x^2+5x+3) \cdot \ln(x+3) \, dx$, $\int (x^3+2) \cdot \ln^2(x) \, dx$, $\int \ln(x) \, dx$, ...
   В этом случае за $u$ принимается часть с логарифмом (она легче дифференцируется), а за $dv = f(x)dx$ - многочлен.


2. $\int f(x) \cdot e^{ax} \, dx$, где $f(x)$ - некоторый многочлен, $e^{ax}$ - экспонента.
   Например: $\int x \cdot e^{x} \, dx$, $\int (x^3+3) \cdot e^{2x} \, dx$, $\int 2x \cdot e^{-3x} \, dx$, ...
   В этом случае за $u=f(x)$ принимается часть с многочленом (она легче дифференцируется с понижением степени), а за $dv = e^{ax}dx$ - выражение с экспонентой (которое при интегрировании не усложняется значительно).


3. $\int f(x) \cdot sin^n(ax) \, dx$, где $f(x)$ - некоторый многочлен, а вторая функция любая из тригонометрических (в том числе в степени): $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sinh$ и т.п.
   Например: $\int x \cdot \sin(x) \, dx$, $\int (2x+3) \cdot \sin^2(2x) \, dx$, $\int x^2 \cdot \cos(x) \, dx$, ...
   В этом случае за $u=f(x)$ принимается часть с многочленом (она легче дифференцируется с понижением степени), а за $dv = g(x)dx$ - выражение с тригонометрической функцией $g(x)$ (которое при интегрировании обычно меняется на другую тригонометрическую функцию, не усложняя интеграл).


4. $\int f(x) \cdot arcsin(ax) \, dx$, где $f(x)$ - некоторый многочлен, а вторая функция любая из обратных тригонометрических: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, и т.п.
   Например: $\int \arcsin(x) \, dx$, $\int (2x-5) \cdot \arctan(2x) \, dx$, $\int x^2 \cdot \arccos(x) \, dx$, ...
   В этом случае за $u$ принимается часть с обратной тригонометрической функцией (которая при дифференцировании переходит в дробь), а за $dv = f(x)dx$ - многочлен (который легко интегрировать).

Во-вторых (обычно это более сложные случаи), это интегралы от произведения двух функций из списка: логарифмическая, показательная, тригонометрическая или обратно-тригонометрическая, например: $\int \sin(x) \cdot \ln^2(x) \, dx$, $\int e^{3x} \cdot \cos^2(x) \, dx$, $\int \arcsin(x) \cdot \ln(2x-3) \, dx$, ...

В этом случае для принятия решения, какую часть подынтегрального выражения нужно принять за $u$, а какую за $dv$, можно использовать мнемоническое правило LIATE. Оно определяет приоритет функций для выбора $u$:

• L — Logarithmic (логарифмы, например, $\ln x$).
• I — Inverse (обратные функции, например, $\arctan x$).
• A — Algebraic (алгебраические, например, $x^2$).
• T — Trigonometric (тригонометрические, например, $\sin x$).
• E — Exponential (экспоненциальные, например, $e^x$).

То есть, например, если мы рассматриваем интеграл $\int \arcsin(x) \cdot \ln(2x-3) \, dx$, в котором есть обратная тригонометрическая (Inverse) и логарифмическая (Logarithmic) функции, за $u$ следует выбрать ту, что находится выше в списке, то есть $u=\ln(2x-3)$, $dv=\arcsin(x)\,dx$. Подробно, с примерами решений и исключениями, это правило описано в статье: правило LIATE

Пошаговый алгоритм

Итак, у нас есть некий интеграл $\int f(x) \, dx$, который подходит под описание выше (для него должен сработать метод интегрирования по частям:)).

1. Выделим $u$ и $dv$. Самый первый и важный шаг в этом методе, это определить, что взять за $u$, а что за $dv$, чтобы свести к виду $\int u \, dv$ и потом применить формулу. Выбирать $u$ следует так, чтобы его производная $du$ стала проще, а выражение $dv$ — легко интегрируемым. Выше даны инструкции для выбора.
2. Вычислим $du$ и $v$: $du = u' \, dx$ — производная $u$, $v = \int dv$ — интеграл $dv$.
3. Подставим все найденные выражения в формулу (*): $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
4. Упростим новый интеграл. В некоторых случаях может потребоваться применить метод повторно (или даже трижды, зависит от подынтегрального выражения).
5. Проверим результат. Это необязательный шаг, но помогает убедиться в правильности расчетов. Вычислим производную и сравним с подынтегральной функцией.

Примеры решения задач

Теперь, наконец, перейдем к конкретным примерам нахождения интеграла с помощью метода интегрирования по частям. Разберем разные варианты подынтегральных выражений, которые были упомянуты выше.

Задача 1. $\int 5x \sin(3x + 2) \, dx$

Анализируем подынтегральное выражение - это произведение многочлена $5x$ и тригонометрической функции $\sin(3x + 2)$. Значит, как было рекомендовано выше, за $u$ примем часть с многочленом, то есть $u = 5x$, $dv = \sin(3x + 2) \, dx$.

Теперь нужно вычислить $du =d(5x)= 5 \, dx$, $v =\int \sin(3x + 2) \, dx= -\frac{1}{3} \cos(3x + 2)$.

Подставляем все в формулу (*):

$$\int 5x \sin(3x + 2) \, dx = 5x \cdot \left(-\frac{1}{3} \cos(3x + 2)\right) - \int \left(-\frac{1}{3} \cos(3x + 2)\right) \cdot 5 \, dx =\\ = -\frac{5x}{3} \cos(3x + 2) + \frac{5}{3} \int \cos(3x + 2) \, dx =\\ =-\frac{5x}{3} \cos(3x + 2) + \frac{5}{9} \sin(3x + 2) + C.$$

Получили, что $\int 5x \sin(3x + 2) \, dx = -\frac{5x}{3} \cos(3x + 2) + \frac{5}{9} \sin(3x + 2) + C$

Задача 2. $\int 2x^2 \ln(4x) \, dx$

В этом случае под знаком интеграла находится произведение многочлена $2x^2$ и логарифмической функции $\ln(4x)$. Значит, за $u$ примем часть с логарифмом, то есть $u = \ln(4x)$, $dv = 2x^2 \, dx$.

Теперь нужно вычислить $du = d(\ln(4x)) = \frac{4}{4x} \, dx=\frac{1}{x} \, dx$, $v = \int 2x^2\, dx = \frac{2}{3} x^3$

Подставляем все в формулу (*):

$$\int 2x^2 \ln(4x) \, dx = \frac{2}{3} x^3 \ln(4x) - \int \frac{2}{3} x^3 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \\ =\frac{2}{3} x^3 \ln(4x) - \frac{2}{3} \int x^2 \, dx =\frac{2}{3} x^3 \ln(4x) - \frac{2}{9}x^3 +C.$$

Задача 3. $\int x^3 e^{2x} \, dx$

В этом случае под знаком интеграла находится произведение многочлена $x^3$ и экспоненциальной функции $e^{2x}$. Значит, за $u$ примем часть с многочленом, то есть $u = x^3$, $dv = e^{2x} \, dx$.

Теперь нужно вычислить $du = 3x^2 \, dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$

Подставляем все в формулу (*):

$$\int x^3 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x^3 e^{2x} - \frac{3}{2} \int x^2 e^{2x} \, dx,=$$

Видно, что интеграл изменился - степень понизилась до $x^2$, но этого недостаточно. Нужно применить интегрирование по частям еще раз. Положим $u = x^2$, $dv = e^{2x} \, dx$, тогда $du = 2x \, dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$. Получаем:

$$= \frac{1}{2} x^3 e^{2x} - \frac{3}{4} x^2 e^{2x} + \frac{3}{2} \int x e^{2x} \, dx,=$$

И опять, интеграл стал легче, степень понизилась до $x$. Осталось еще разок применить интегрирование по частям. Положим $u = x$, $dv = e^{2x} \, dx$, тогда $du = dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$. Получаем:

$$= \frac{1}{2} x^3 e^{2x} - \frac{3}{4} x^2 e^{2x} + \frac{3}{4} x e^{2x} - \frac{3}{4} \int e^{2x} \, dx = \\ =\frac{1}{2} x^3 e^{2x} - \frac{3}{4} x^2 e^{2x} + \frac{3}{4} x e^{2x} - \frac{3}{8} e^{2x} + C.$$

Как видно из этого примера, не всегда применение формулы интегрирования по частям дает ответ сразу, иногда нужно повторять процесс несколько раз, главное следить, чтобы каждая итерация приводила к более простому (а не более сложному интегралу);), либо приводила к исходному интегралу (что повзволяет его потом выразить через промежуточные).

Типичные ошибки интегрирования

Неправильный выбор $u$ и $dv$. Используйте правила, указанные выше для выбора функци $u$. Иногда интеграл можно вычислить по частям вне зависимости от того, какой из множителей подынтегрального выражения выбран за $u$ (например, если это произведение двух тригонометрических функций, или экспоненты и тригонометрической функции, или двух экспонент, или арктангенса и $x$, или натурального логарифма и $x$ и т.п.). Но в стандартных случаях, если вы выберете не так, интеграл после применения формулы (*) существенно усложнится:(

Забытый минус. При подстановке в основную формулу $uv - \int v \, du$ часто пропускают минус, отсюда накапливаются ошибки и ответ не сходится.

Ошибки в промежуточных вычислениях производной $du$ и особенно интеграла $v$.

Не забывайте, что всегда есть способ проверить правильность вычислений, взяв производную от ответа (она должна совпасть с подынтегральным выражением).

Метод интегрирования по частям превращает сложные интегралы в посильные задачи. Освоив алгоритм и изучив примеры, вы сможете решать даже нетривиальные задачи. Но если времени мало, мы готовы помочь! Закажите решение у нас и сосредоточьтесь на главном.

Дополнительная информация

• Таблица интегралов и правила интегрирования
• Готовые контрольные по интегралам
• Примеры решений интегралов (неопределенные, определенные, несобственные)
• Контрольные по интегралам на заказ
• Почему стоит заказать в МатБюро?