Таблица интегралов онлайн

Интегрирование - одна из фундаментальных операций математического анализа, обратная дифференцированию. В этой таблице собраны основные интегралы элементарных функций, которые нужны для решения любых задач интегрирования, от самых простых до сложных. Знание этих формул и правил интегрирования необходимо для вычисления площадей, объемов, работы силы, и вообще многих других физических или экономических величин (см. решенные примеры на применение интегралов).

Интегралы элементарных функций

Функция f(x)	Неопределенный интеграл ∫f(x)dx	Примечание
$$0$$	$$C$$	Нулевая функция
$$k$$	$$kx + C$$	Константа
$$x^n$$	$$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$	Степенная функция
$$\frac{1}{x}$$	$$\ln|x| + C$$
$$e^x$$	$$e^x + C$$	Экспонента
$$a^x$$	$$\frac{a^x}{\ln a} + C$$	Показательная функция
$$\sin x$$	$$-\cos x + C$$	Синус
$$\cos x$$	$$\sin x + C$$	Косинус
$$\mathrm{tg} x$$	$$-\ln |\cos x |+ C$$	Тангенс
$$\mathrm{ctg} x$$	$$\ln|\sin x |+ C$$	Котангенс
$$\frac{1}{\cos^2 x}$$	$$\mathrm{tg} x + C$$
$$\frac{1}{\sin^2 x}$$	$$-\mathrm{ctg} x + C$$
$$\frac{1}{a^2+x^2}$$	$$\frac{1}{a} \mathrm{arctg} \frac{x}{a} + C =-\frac{1}{a} \mathrm{arcctg} \frac{x}{a} + C$$
$$\frac{1}{x^2-a^2}$$	$$\frac{1}{2a} \ln \left | \frac{a-x}{a+x}\right | + C$$
$$\sinh x$$	$$\cosh x + C$$	Гиперболический синус
$$\cosh x$$	$$\sinh x + C$$	Гиперболический косинус
$$\frac{1}{\sinh^2 x}$$	$$-\coth x + C$$
$$\frac{1}{\cosh^2 x}$$	$$\tanh x + C$$

Интегралы от иррациональных функций

Функция f(x)	Неопределенный интеграл ∫f(x)dx
$$\frac{1}{\sqrt{x}}$$	$$2\sqrt{x} + C$$
$$\sqrt{x}$$	$$\frac{2}{3}x^{3/2} + C$$
$$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$	$$\arcsin \frac{x}{a} + C = -\arccos \frac{x}{a} + C$$
$$\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$$	$$\ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C$$
$$\sqrt{a^2-x^2}$$	$$\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$$
$$\sqrt{x^2+a^2}$$	$$\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C$$
$$\sqrt{x^2-a^2}$$	$$\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C$$
$$x\sqrt{x^2+a^2}$$	$$\frac{1}{3}(x^2+a^2)^{3/2} + C$$
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$$	$$\sqrt{x^2+a^2} + C$$

Основные способы интегрирования

Интеграл от суммы (линейность интегрирования)

$$\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx$$

Например, чтобы вычислить интеграл $\int (3x^2 + 2\cos x) dx$, мы используем линейность интеграла и табличные значения: $$\int (3x^2 + 2\cos x) dx = 3\int x^2 dx + 2\int \cos x dx = x^3 + 2\sin x + C$$ где $C$ - постоянная интегрирования.

Интегрирование по частям

$$\int u dv = uv - \int v du$$

Используется для некоторых типов интегралов (произведения экспоненты, логарифма, тригонометрических функций на многочлен и других).

Например: $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = e^x(x-1) + C$

Замена переменной

$$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \quad \text{где} \quad u = g(x)$$

Например: $\int 2x \cos(x^2) dx= \int \cos(x^2) d(x^2) = \sin(x^2) + C$

Интегрирование рациональных дробей

Для интегрирования дроблей проводят выделение целой части (в случае неправильной дроби) и разложение на сумму простейших дробей вида: $$\frac{A}{(x-a)^n}, \quad \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^m},$$ каждая из которых затем интегрируется.

Дополнительная информация

• Готовые контрольные по интегралам
• Решённые задачи: неопределенный интеграл
• Метод интегрирования по частям
• Правило LIATE при интегрировании по частям
• Матанализ для чайников
• Контрольные по интегральному исчислению на заказ
• Почему стоит заказать в МатБюро?