Формулы по финансовой математике

В этом разделе приведем основные формулы, используемые в базовых задачах по курсу финансовой математики (проценты, дисконтирование, рента).

Основные обозначения

$PV$ (present value) - текущая (современная) величина денежной суммы

$FV$ (future value) - будущая (наращенная) величина денежной суммы

$D=FV-PV$ - дисконт

$r, i$ - ставка наращения процентов (дробь)

$n$ - срок

$j$ - номинальная ставка процента

$m$ - количество начислений в год

Формулы начисления процентов

Наращение по простым процентам

Наращенная сумма - это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:

$$FV=PV(1+nr),$$

где $n$ - срок ссуды, $r$ - процентная ставка.

Если срок операции $n$ задан в днях, а процентная ставка годовая, то полагают

$$n=\frac{t}{K}$$

где $t$ - число дней ссуды, $K$ - временная база начисления процентов (365,366 или 360 дней). Тогда формула принимает вид

$$FV=PV \left(1+\frac{t}{K}r \right),$$

В зависимости от применяемой временной базы и способа расчета $t$ (точное по календарю, приближенное - все месяцы по 30 дней), возможны три варианта расчета простых процентов:

• Английская методика: (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды;
• Французская методика: (360/365) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
• Германская методика: (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Наращение по сложным процентам

Наращенная сумма - это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:

$$FV=PV(1+r)^n,$$

где $n$ - срок операции, $r$ - сложная процентная ставка.

Если начисление производится $m$ раз в год, то

$$FV=PV \left(1+\frac{j}{m} \right)^{nm},$$

где $j$ - номинальная процентная ставка, $N=nm$ - общее количество периодов начисления.

Эффективная ставка $r$ – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и $m$-разовое начисление процентов в течение года по ставке $j/ m$ каждое.

Эквивалентность данных ставок записывается в виде:

$$(1+r)^n = \left(1+\frac{j}{m} \right)^{nm}.$$

Отсюда можно вывести выражения для эффективной ставки и номинальной:

$$r =\left(1+\frac{j}{m} \right)^{m}-1, \quad j=m\left( \sqrt[m]{1+r}-1 \right).$$

Наращение по непрерывному проценту

$$FV=PV \cdot e^{r\cdot n}.$$

Формулы: дисконтирование

Для формулы простых процентов, сумма ссуды, которую надо выдать в долг чтобы получить в конце срока сумму $FV$, равна

$$PV = \frac{FV}{1+nr}.$$

Для формулы сложных процентов аналогично получаем:

$$PV = \frac{FV}{(1+r)^n}.$$

Для случая начисления $m$ раз в год:

$$PV = \frac{FV}{ \left(1+\frac{j}{m} \right)^{nm}}.$$

Здесь $1/(1+nr)$, $1/(1+r)^n$, $1/(1+j/m)^{nm}$ - дискотный множитель (учетный множитель, дисконтирующий множитель).

Формулы: потоки платежей

GПусть имеется ряд платежей $R_i$, выплачиваемых спустя время $n_i$ после начального времени. Общий срок выплат $n$ лет. Необходимо определить наращенную сумму на конец срока. Если проценты начисляются раз в год по сложной ставке $i$, то искомая сумма

$$S=\sum_{i} R_i (1+i)^{n-n_i}.$$

Современная стоимость такого потока находится с помощью дисконтирования:

$$A=\sum_{i} R_i v^{n_i}, \quad v - \mbox{ дисконтный множитель для ставки } i.$$

Между этими величинами (современная стоимость и на конец срока) существует явная зависимость

$$S =A(1+i)^n.$$

Пригодится: Примеры решенных задач по финансовой математике

Рента постнумерандо

Для годовой ренты постнумерандо с равными ежегодными платежами в размере $R$, ставкой процента $i$, количеством лет $n$ (взносы в конце года) имеем:

$$S=R \frac{(1+i)^n-1}{i}; \quad A=R \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.$$

Если проценты начисляются $m$ раз в году с номинальной ставкой $j$:

$$S=R \frac{(1+j/m)^{mn}-1}{(1+j/m)^m-1}, ; \quad A=R \frac{1-(1+j/m)^{-mn}}{(1+j/m)^m-1}$$

Для $p$-срочной ренты с выплатами $p$ раз в год суммами по $R/p$:

$$S=R \frac{(1+j/m)^{mn}-1}{p\left[ (1+j/m)^{m/p}-1\right]}; \quad A=R \frac{1-(1+j/m)^{-mn}}{p\left[ (1+j/m)^{m/p}-1\right]}$$

Полезные ссылки

• Почему стоит заказать в МатБюро?
• Решенные контрольные
• Решенные задачи по финансовой математике
• Excel в финансовой математике
• Помощь с тестами
• Тест с ответами по финансовой математике