Как найти дисперсию?

Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая - значения сравнительно близки друг к другу, если большая - далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии - среднеквадратическое отклонение $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: "Дисперсия - это второй центральный момент случайной величины" (напомним, что первый начальный момент - это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:

$$D(X)=M(X-M(X))^2,$$ которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде: $$D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.
Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:

$$D(X)=\sum_{i=1}^{n}{x_i^2 \cdot p_i}-\left(\sum_{i=1}^{n}{x_i \cdot p_i} \right)^2.$$ Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом: $$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot x^2 dx - \left( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot x dx \right)^2.$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:

$$x_i \quad 1 \quad 2 \\ p_i \quad 0.5 \quad 0.5$$ и $$y_i \quad -10 \quad 10 \\ p_i \quad 0.5 \quad 0.5$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором - дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:

$$D(X)=\sum_{i=1}^{n}{x_i^2 \cdot p_i}-\left(\sum_{i=1}^{n}{x_i \cdot p_i} \right)^2 =\\ = 1^2\cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0.5 - (1\cdot 0.5 + 2\cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.$$ $$D(Y)=\sum_{i=1}^{n}{y_i^2 \cdot p_i}-\left(\sum_{i=1}^{n}{y_i \cdot p_i} \right)^2 =\\ = (-10)^2\cdot 0.5 + 10^2 \cdot 0.5 - (-10\cdot 0.5 + 10\cdot 0.5)^2=100-0^2=100.$$ Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $\sigma(X)=0.5$, $\sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором - на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:

$$x_i \quad -1 \quad 2 \quad 5 \quad 10 \quad 20 \\ p_i \quad 0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.3 \quad 0.1$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:

$$D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.$$ В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание: $$M(X)=\sum_{i=1}^{n}{x_i \cdot p_i} =-1\cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 +5\cdot 0.3 +10\cdot 0.3+20\cdot 0.1=6.8.$$ Потом математическое ожидание квадрата случайной величины: $$M(X^2)=\sum_{i=1}^{n}{x_i^2 \cdot p_i} = (-1)^2\cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.2 +5^2\cdot 0.3 +10^2\cdot 0.3+20^2\cdot 0.1=78.4.$$ А потом подставим все в формулу для дисперсии: $$D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.$$ Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x \in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:

$$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot x^2 dx - \left( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot x dx \right)^2.$$ Вычислим сначала математическое ожидание: $$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot x dx = \int_{0}^{6} \frac{x}{18} \cdot x dx = \int_{0}^{6} \frac{x^2}{18} dx = \left.\frac{x^3}{54} \right|_0^6=\frac{6^3}{54} = 4.$$ Теперь вычислим $$M(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot x^2 dx = \int_{0}^{6} \frac{x}{18} \cdot x^2 dx = \int_{0}^{6} \frac{x^3}{18} dx = \left.\frac{x^4}{72} \right|_0^6=\frac{6^4}{72} = 18.$$ Подставляем: $$D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.$$ Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку "Вычислить".
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей - онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала - еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро: