Прикладная математика для чайников
Очень условно курс математики, который изучается в школе и вузе можно поделить на три части: элементарную математику (арифметика, начало алгебры, геометрия), высшую математику и прикладную математику.
Прикладная математика: что входит?
Что относят к прикладной математике? Точной классификации нет. Обычно это науки/предметы, которые используют математические методы, модели, аппарат для решения задач прикладного характера:
- Численные методы
- Уравнения математической физики
- Линейное программирование
- Методы оптимальных решений
- Теория игр
- Математическая статистика
- Теория графов
- Теория кодирования
- Теория массового обслуживания
- Модели межотраслевого баланса
- Случайные процессы
- и многое-многое другое
То есть, когда мы решаем обычную задачу вроде
"Найти производную от функции $f(x)=\sin^3(5x-\ln(x^8+6))$
- это задача из курса высшей математики (атематический анализ).
"Найти цену, при котором коэффициент эластичности спроса по цене равен 0,5"
- уже прикладная задача на применение производной для решения простейших экономических задач (прикладная математика в экономике).
Ниже вы найдете примеры решений различных задач по прикладной математике - от применения дифференциальных уравнений до сетевых задач, а также отзывы студентов и полезные ссылки для изучения математики. Если вам нужна помощь в решении своих заданий - обращайтесь!
Прикладная математика: задачи и решения
Применение производной
Задача 1. Даны зависимости спроса $D(p)=4+1/(p+2)$ и предложения $S(p)=(p+1)^2-1$ от цены $p$ . Найдите равновесную цену, выручку при равновесной цене.
Задача 2. Найти эластичность функции спроса при заданной стоимости $p$.
$$q=\sqrt[3]{4-p^2}m \quad p=1. $$Задача 3. Определить размеры прямоугольного открытого бассейна, имеющего наименьшую поверхность при условии, что его объем $=V$.
Задача 4. У моторного судна при скорости 10 км/ч отключается мотор. Отрицательное ускорение, сообщаемое лодке сопротивлением воды, пропорционально скорости. Найти закон движения лодки.
Задача 5. Пористое нерастворимое вещество, содержащее в своих порах 2 кг соли, погружается в 30 л воды. Через 5 мин растворяется 1 кг соли. Через какое время растворится 99% первоначального количества соли.
Задача 6. Завод $D$ нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой стоит город $A$. Расстояние $DB$ до железной дороги равно $a$, расстояние $AB$ по железной дороге равно $L$. Стоимость перевозок по шоссе в $m$ раз дороже стоимости перевозок по железной дороге. Как провести шоссе $DP$ к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была наименьшей?
Другие примеры: Производные, Дифференциальные уравнения
Исследование операций
Задача 7. Инвестор выделяет средства в размере 5 тыс. ден. ед., которые должны быть распределены между тремя предприятиями.
Требуется, используя принцип оптимальности Беллмана, построить план распределения инвестиций между предприятиями, обеспечивающий наибольшую общую прибыль, если каждое предприятие при инвестировании в него средств $x$ тыс. ден. ед. приносит прибыль $p_i(x)$ тыс. ден. ед. ($i=1, 2, 3$) по следующим данным:
Задача 8. Пусть балансовый отчет для трёхотраслевой модели экономики имеет вид:
Требуется:
а) записать балансовые соотношения и определить объём конечной продукции в каждой отрасли;
б) найти матрицу прямых затрат $A$ и выяснить её продуктивность;
в) найти матрицу полных затрат $S=(E-A)^{-1}$ (для избежания ошибок проверить, выполняются ли равенства $S(E-A)=(E-A)S=E$ );
г) для нового вектора конечной продукции найти вектор валовой продукции $X$ по формуле $X = SY$.
Задача 9.Дана упорядоченная структурно-временная таблица перечня работ по организации выставки-продажи товаров выпускаемых производственным объединением «Ангара».
Требуется:
1. Определить временные параметры событий.
2. Найти все полные пути, вычислить их протяжённость и резервы времени.
3. Определить критический путь, критические работы.
4. Вычислить ранние и поздние сроки начала и окончания работ, их полные и свободные резервы времени.
Результаты расчётов сведите в таблицу.
Задача 10. Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует 1000 костюмов и 2300 платьев, а при прохладной погоде - 1400 костюмов и 700 платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны 20, а платья - 5 рублям, цена реализации соответственно равна 40 рублей и 12 рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.
Задача 11. Маленький современный магазин может вместить в себя не более 7 покупателей. В магазине работают одновременно 2 продавца. В среднем в час в магазин заходят 20 покупателей. Средняя длительность обслуживания клиента составляет 6 мин. Если войти в магазин нельзя, покупатель уходит в другой аналогичный магазин. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Определить характеристики обслуживания магазина в стационарном режиме (вероятность простоя продавцов, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых обслуживанием продавцов, среднее число покупателей в очереди, среднее число покупателей в магазине, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время покупателя в очереди, среднее время покупателя в магазине, среднее время обслуживания покупателя).
Задача 12. Определить набор товаров потребителя $(x_1,x_2)$, максимизирующий функцию полезности $U(x_1,x_2)=x_1^{7/8}x_2^{1/8}$ при заданном бюджетном ограничении $m=336$. Цены товаров $p_1=7$m $p_2=6$.
Задача 13. Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственный оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.
Задача 14. Составить математическую модель задачи и решить ее симплекс-методом.
Полноценное питание животных в питомнике включает в себя ежедневное потребление питательных веществ А и В, которые содержатся в продуктах вида I, II, III. Продукт I содержит питательные вещества А и В в количестве 3 и 3, продукт II - 1 и 1, продукт III - 9 и 8 г/кг при калорийности 3, 2, 5 ккал/кг соответственно. Себестоимость продуктов I, II, III составляет 2, 3, 1 ден. ед. Составить план питания, имеющий наименьшую стоимость, при котором ежедневное потребление питательного вещества А не превысит 180 г, вещества В будет не меньше 54 г, а калорийность составит 120 ккал.
Задача 15. Малое предприятие имеет два цеха - A и B. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех A свой план выполняет с вероятностью $$p_1=0,6$. Вероятность выполнения плана цехом B при условии, что цех A выполнит свой план, равна $p_2=1/6$. Известно также, что с вероятностью $p_3=0,2$ может сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.
Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счет в банке на 5 единиц, если оба не выполнят – снимет со счета 4 единицы, если цех A выполнит, а цех B нет - увеличит счет только на 2 единицы, если же цех A не выполнит, а цех B выполнит – сократит свой счет на 1 единицу.
Требуется:
1. определить вероятность выполнения плана цехом B.
2. выяснить, зависит ли выполнение плана цехом A от того, выполнит или нет свой план цех B.
3. найти вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке.
4. определить, на сколько и в какую сторону (увеличения-уменьшения) изменится в среднем счет предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счета в банке).
Задача 16. Каков должен быть размер вклада в банк, если Вы хотите через два года иметь 100.000 рублей и банк предлагает 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов.
Ещё: Линейное программирование, Экономико-математические методы
Заказать решение
Если вам нужна помощь с решением задач по любым разделам математики, обращайтесь в МатБюро. Выполняем контрольные и практические работы, ИДЗ и типовые расчеты на заказ. Стоимость задания от 60 рублей, оформление производится в Word, срок от 2 дней.
