Примеры решений задач: функции нескольких переменных

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа для функций нескольких переменных:

Примеры: область определения ФНП

Задача 1. Найти область определения функции двух переменных $z=f(x,y)$. Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.

$$z=\frac{4+x}{(x+3)(y-5)}.$$

Задача 2. Для данной функции найти область определения и изобразить ее на рисунке в системе координат.

$$z=\frac{\sqrt{xy}}{x^2+y^2}.$$

Примеры: частные производные ФНП

Задача 3. Найти частные производные: $z=tg^3 (3x-4y)$

Задача 4. Найти частные производные второго порядка $z=\sqrt{x^2-y^2}$

Задача 5. Найти частные производные сложной функции:

$$z=u^2 \cdot \ln v; \quad u=\frac{x}{y}, \, v=x^2+y^2.$$

Задача 6. Проверить справедливость теоремы о смешанных производных второго порядка.

$$z=\ln (x^2+y^2).$$

Задача 7. Найти полный дифференциал данной функции

$$z=arctg (y-x) +\frac{1}{\sqrt{y}} +\sqrt[3]{y}\cdot \ln (1-x) +\sin 2x+1.$$

Задача 8. Найти дифференциал второго порядка функции:

$$z= arctg\frac{x}{x+y}$$

Задача 9. Для функции $z(x,y)$ двух переменных, неявно заданной уравнением $\sin(xz)+\cos(yz)=1$, найдите первый и второй дифференциалы в точке $x=y=1, z=0$.

Задача 10. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных $z(x,y)$ указанному дифференциальному уравнению.

$$z=x\sin \frac{y}{x}+y\ln\frac{y}{x},\\ y \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}+x\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=0.$$

См. также: примеры на производные, ДУ в частных производных

Градиент, производная по направлению

Задача 11. Найти производную функции $f(x,y,z)$ в точке $M(x_0,y_0,z_0)$ по направлению вектора $\overline{l}$. Вычислить наибольшую скорость изменения функции в данной точке.

$$f=\sin (x+2y)+\sqrt{xyz}, \quad \overline{l}=\{4,3,0\}, \, M_0(\pi/2; 3\pi /2;3).$$

Задача 12.Дана функция $z(x,y)$, точка $A(x_0,y_0)$ и вектор $\overline{a}$. Найти:
1) $grad z$ в точке $A$;
2) производную в точке $A$ по направлению вектора $\overline{a}$. $$z=arctg(xy^2), \quad A(2;3), \, \overline{a}=4\overline{i}-3\overline{j}.$$

Задача 13. Найдите градиент, производную по направлению $\overline{l}$ и матрицу Гессе в точке $M$ заданной функции, где $u=f(x,y,z)=x^2z+z^2x^2+y^3$, $\overline{l}=\{2;1;-2\}$, $M(1,3,1)$.

Задача 14. Найти производную функции $u$ в точке $M$ по направлению нормали к поверхности $S$, образующей острый угол с положительным направлением оси $Oz$.

$$u=(x^2+y^2+z^2)^{3/2}, S: 2x^2-y^2+z^2-1=0, M=(0,-3,4).$$

Касательная плоскость и нормаль

Задача 15. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-x+2y+4z-13=0$ в точке $M(2,1,2)$.

Задача 16. Для кривой $\overline{r}=\overline{r}(t)$ найти в точке $t_0$ уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии.

$$\overline{r}(t)=(t^2-3)\overline{i} + (t^3+2)\overline{j}+\ln t \overline{k}, \quad t_0=1$$

Задача 17. Найти градиент, первый дифференциал, матрицу вторых производных, второй дифференциал функции $z=2xy-xy^4+5y^3-3$ в точке $A(2,-3)$. Составить уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида к графику данной функции.

Экстремумы функции нескольких переменных

Задача 18. Найти точки экстремума функции $z=x^2+xy+y^2+2x-y$.

Задача 19. Найти точки локального экстремума и экстремальные значения $z=x^2+y^2-xy+x+y$.

Задача 20. Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+xy+\frac{1}{2}y^2+5$.

Задача 21. Определите, при каких значениях параметра $a$ функция $z(x,y)=x^3+y^3+4xy-7x-7y+a(x-1)^2+a(y-1)^2$ в точке (1;1):
А) имеет максимум,
Б) имеет минимум,
В) не имеет экстремума.

Задача 22. Найдите (локальные) экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=2x^2-xy+2xz-y+y^3+z^2$.

Приближенные вычисления

Задача 23. Вычислить приближенно значение функции $Z=Z(x,y)$ и данной точке с помощью дифференциала.

$$z=x+y-\sqrt{x^2+y^2}, \quad M(2,9;3,8)$$

Задача 24. Дана функция $z=x^2+2xy+3y^2$ и две точки $А (2; 1)$ и $В (1,96; 1,04)$. Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке $В$;
2) вычислить приближённое значение функции в точке $В$, исходя из значения функции в точке $А$ и заменив приращение функции при переходе от точки $А$ к точке $B$ дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом.

Ряд Тэйлора

Задача 25. Разложите функцию $f(x,y)=x^2\ln y + y^2$ по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в окрестности точки $M(2;1)$ до членов второго порядка включительно. Выпишите первый и второй дифференциалы заданной функции.

Задача 26. Найти первые и вторые частные производные функции $F$ и записать формулу Тэйлора в указанной точке $x^0$.

$$F=\ln(2x+y+z)+\sin(2x+y+z)+x^22^{-2y}, \quad x^0=(1,1,0).$$

См. также: примеры на ряды

Наибольшее и наименьшее значение в области

Задача 27. Найти наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения функции $z=f(x,y)=3-2x^2-xy-y^2$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств $-1 \le x \le 1; 0\le y \le 2$. Сделать чертёж области $D$.

Задача 28. Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5x^2-3xy+y^2+4$ в области, ограниченной заданными линиями $x=0, y=0, x+y=2$.

Решение контрольной

Контрольное задание. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^2-3xy$
1. Исследовать функцию $f$ на экстремум. Найти экстремальные значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f$ в заданной области $D$.
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке, где $x=x_0=1$, $y=y)0=3$.
4. Найти величину наибольшей скорости возрастания функции $f$ в точке $M_1(-1;1)$.
5. Вычислить производную функции $f$ в точке $M_1$ в направлении вектора $\overline{M_1M_2}$. Каков характер изменения функции? Почему?
6. Найти угол между градиентами функции $f$ в точках $M_1$ и $M_2(2;2)$. Построить векторы и указать угол.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Полезные ссылки

• Учебник с примерами онлайн по функциям нескольких переменных
• Теория поля - задачи с решениями