Примеры решений двойных интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения заданий с использованием двойных интегралов разной сложности. Для удобства использования примеры разбиты по подразделам:

Порядок интегрирования: примеры решений

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

$$\int_0^1 dy \int_{-\sqrt{y}}^0 fdx +\int_1^e dy \int_{-1}^{\ln{y}} fdx$$

Задача 2. Свести к однократному интегралу

$$\iint_{x^2+y^2\le x} x f(\sqrt{x^2+y^2})dxdy.$$

Задача 3. Изменить порядок интегрирования. Нарисовать область интегрирования и вычислить двойной интеграл двумя способами.

$$\int_{-1}^0 dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0 x dy + \int_0^1 dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{1-x} xdy.$$

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Двойной интеграл по области: примеры решений

Задача 4. Вычислить двойной интеграл по области $D$

$$\iint_D (x+y)dxdy, \quad D: \{ y=x^2-1, y=-x^2+1\}.$$

Задача 5. Вычислить двойной интеграл от функции $z=x^3+y^3-3xy$ по области D, заданной системой неравенств $0 \le x \le 2$, $y \le \sqrt{x}$. Область D изобразить на рисунке.

Задача 6. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойной интеграл по указанной области $D$.

$$\iint_D \frac{\ln(x^2+y^2)}{x^2+y^2}dxdy, D \mbox{ – кольцо } 1 \le x^2+y^2 \le e^2.$$

Площади: примеры решений

Задача 7. Вычислить площадь области D: $y=-2x^2+2, y \ge -6$.

Задача 8. Найти площадь области $x^2-2x+y^2=0$, $x^2-4x+y^2=0$, $y=0$, $y=\sqrt{3}x$.

Задача 9. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (неравенствами) $y=x^2,x=2y^2$

Задача 10. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

$$y^2-4y+x^2=0, y^2-6y+x^2=0, y=\sqrt{3}x, x=0.$$

Задача 11. Вычислить площадь области, заданной неравенствами $(x-r)^2+y^2 \le r^2, y \ge 0, -2x+2r \ge y$, перейдя предварительно к полярным координатам.

Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы или типовика по интегральному исчислению, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 70 рублей, срок от нескольких часов.

Объемы: примеры решений

Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

$$x^2+y^2=2y, \quad x^2+y^2=5y, \quad z=\sqrt{x^2+y^2}, \quad z=0.$$

Задача 13. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

$$a^2 \le x^2+y^2 \le b^2, \quad x^2-y^2-z^2 \ge 0, x\ge 0$$

Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, с помощью двойного и тройного интеграла $x^2+y^2=4x,x^2+y^2+z^2=16$

Масса, центр тяжести, момент: примеры решений

Задача 15. Пластина $D$ задана уравнениями $x=1$, $y \ge 0$, $y^2=4x$ с плотностью $\mu = 6x+3y^2$. Найти массу пластины.

Задача 16. Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной кривой

$$x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), \quad 0 \le t \le 2\pi; y=0.$$

Задача 17. Найти центр тяжести плоской пластины, ограниченной кривой $(x+y)^4=xy$, имеющей плотность

$$\rho = \frac{(x+y)^3}{xy(x^2+y^2+3xy)}$$

Задача 18. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси $Ox$ тонкой однородной пластинки, имеющей форму области $D$, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования

$$D: x+y=1, x^2=y-1, x=1.$$

Задача 19. Найти массу круглой пластины $D: x^2+y^2 \le 1$ с поверхностной плотностью $\rho(x,y)=3-x-y$.

Задача 20. Найти момент инерции относительно оси $Ox$ однородной фигуры, ограниченной двумя кривыми $y^2=8x+4$, $y^2=-8x+4$.

Полезные ссылки

• Интегралы - примеры решений
• Применение интегралов - примеры решений
• Тройные интегралы - примеры решений
• Криволинейные интегралы - примеры решений
• Поверхностные интегралы - примеры решений
• Учебник с примерами онлайн по двойным интегралам