Примеры решений тройных интегралов
В этом разделе вы найдете подробные решения, связанные и вычислением и применением тройных интегралов: от непосредственного вычисления (в декартовых, цилиндрических, сферических координатах), до применения к нахождению объемов тел, массы, моментов и т.п. Примеры сгруппированы по темам:
Тройные интегралы: примеры решений
Задача 1. Вычислить тройной интеграл
∭Vx2yzdxdydz,V:−1≤x≤2,0≤y≤3,2≤z≤3.Задача 2. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл
∭Vx2dxdydz,V:x2+y2+z2=R2,z≥0,x>0.Задача 3. Переходя к цилиндрическим координатам вычислить интеграл
∭Vx2dxdydz,V:x2+y2=x,z=x2+y2,z=0.Задача 4. Решить тройной интеграл двумя способами (цилидрическая и сферическая замена координат)
∭G(x2+y2+z2)2dxdydz,G={(x,y,z):x2+y2+z2≤a2,x+z≥0}Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.
Объемы тел: примеры решений
Задача 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями (внутри цилиндра).
z=√100−x2−y2,z=6,x2+y2=51Задача 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x2+y2=9x,x2+y2=12x,z=√x2+y2,z=0,y≥0.Задача 7. Вычислить тройным интегрированием объем тела, ограниченного данными поверхностями:
z=2−x,z=0,y=√x,y=14x2.Задача 8. Найти объем тела, ограниченного координатными плоскостями и поверхностью
(xa+yb+zc)3=sin(πxa+ybxa+yb+zc)Задача 9. Найти объем тела, ограниченного поверхностью x2+y2+z2=2x+3y.
Моменты, масса тела: примеры решений
Задача 10. Найти статический момент относительно xOy однородного тела, ограниченного поверхностью (x2+y2+z2)3=x2+y2z2 с плотностью z=0 (z≥0).
Задача 11. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R, высота цилиндра H и функция плотности γ(ρ), где ρ – полярный радиус точки.
R=2,H=0,5,γ=2+ρ2+ρ3.Задача 12. Найти массу тела, заданного системой неравенств, если плотность тела в каждой точке задана функцией μ.
12√x2+y2 lez≤√4−x2−y2,μ=58z.Задача 13. Найти момент инерции относительно оси Oz тела, ограниченного заданными поверхностями.
z=−x2−y2,z=x2+y2−8
