Примеры решений криволинейных интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения криволинейных интегралов первого и второго рода (непосредственное вычисление, по разным путям, по формуле Грина), а также применение к вычислению моментов инерции, массы, работы, силы притяжения и т.п.

Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указанной кривой $L$:

$$\int_L 4xy ds, \quad L =\left\{ (x,y): y=\min\left( \frac{x^2}{a}, \sqrt{2a^2-x^2} \right), x\ge 0 \right\}.$$

Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл I рода $\int_L y^2 dl$, $L$ - арка циклоиды $x=(t-\sin t)/2$, $y=(1-\cos t)/2$, $0 \le t \le \pi$.

Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл $\int_L y^2 dl$, где $L$ – дуга параболы $y^2=2x$ от точки $(0;0)$ до точки $(1;\sqrt{2})$.

Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 100 рублей, срок от нескольких часов.

Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений

Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый вдоль ориентированной кривой $L$: $\int_L x^2 dy -xydx$, где $L$ - часть кривой $x^4-y^4=6x^2y$ от точки $A=(-4\sqrt{2};4)$ до точки $B=(0;0)$

Задача 5. Вычислить интеграл $$\int_L z^2x dx +(z+x+y)dy +y^2zdz,$$ где $L$ - кривая $a^2+y^2=ax, x^+y^2=z^2$ положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра.

Задача 6. Вычислить криволинейный интеграл $\int_{AB} (y^2+x)dx+2x/y dy$ вдоль кривой $y=e^x$ от точки $A(0;1)$ до точки $B(1;e)$.

Задача 7. Проверить, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и найти его значение.

$$\int_{(1;2)}^{(3;1)} (2xy-1)dx + (x^2-2y)dy.$$

Задача 8. Проверить криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования, и найти его значение (двумя способами – непосредственно и с помощью потенциала).

$$\int_{(1;0)}^{(-2;1)} (x-y^2)dy - (x^2-y)dx.$$

Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении, используя формулу Грина

$$\int_l (x-y^2)dy + (x^3+3y)dx, \quad l: x=y, y=x^2.$$

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Моменты инерции: примеры решений

Задача 10. Найти моменты инерции относительно осей однородных дуг $L$ плотности $\rho$.

$$L =\left\{ (x,y): 2y=x^2+1, 0\le x\le 1 \right\}.$$

Задача 11. Вычислить момент инерции верхней половины окружности $x^2+y^2=a^2$ относительно оси $Oy$, если плотность $\delta=1$.

Другие задания: примеры решений

Задача 12. Найти координаты силы притяжения дугой астроиды $x=a \cos^3 t$, $y=a \sin^3 t$, $0 \le t \le \pi/2$ единичной массы, помещенной в начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.

Задача 13. Вычислить работу силы $F(z,-x,y)$ вдоль дуги винтовой линии $z=2\cos t$, $y=3\sin t$, $z=4t$, $0 \le t \le 2\pi$.

Задача 14. Доказать, что данное выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ является полным дифференциалом функции $Ф(x,y)$ и найти ее с помощью криволинейного интеграла.

$$\frac{y \cdot 2^{y/x}}{x^2} dx - \frac{ 2^{y/x}}{x} dy.$$

Задача 15. Вычислить работу силы $\overline{F}$ при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой $L$ от точки $B$ до точки $C$, если значения параметра $t$ в точках $B$ и $C$ заданы.

$$\overline{F}=-x \overline{i}+2y^2\overline{j}, \quad x=2\cos t, y=\sint, \quad t_B=0, t_C=\pi/6.$$

Задача 16. Вычислить массу кривой $y=x^2/2$, где $x\in (\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$, если линейная плотность задана функцией $f(x,y)=6y/x$.

Полезные ссылки

• Интегралы - примеры решений
• Применение интегралов - примеры решений
• Тройные интегралы - примеры решений
• Двойные интегралы - примеры решений
• Поверхностные интегралы - примеры решений
• Учебник с примерами онлайн по криволинейным интегралам