Примеры решений задач с помощью интегралов

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач на тему Применение определенных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения, поверхности тела вращения для функций и областей, заданных различным образом.

Площадь плоской фигуры: примеры онлайн

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

$$y^2=x, x^2=2x, 2y=x.$$

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, заключенной между графиками функций:

$$y=2\sqrt[3]{x}, y=\sqrt[3]{x^2}.$$

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

$$\rho=4\cos 2\varphi, \rho=2, \rho \geq 2.$$

Задача 4. Найти площадь петли кривой

$$x=\cos^3 t, y=\sin^3 t.$$

Смотрите также: примеры на вычисление интегралов.

Решения задач: площадь поверхности

Задача 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой $y^2=\frac{x}{9a}(3a-x)^2$ вокруг оси $OX$, $a>0$.

Решения задач: объем тела вращения

Задача 6. На координатной плоскости $XOY$ построить площадь, ограниченную линиями $y = 2x - x^2$ и $y = 4x - 2x^2$ , и найти объем тела, образованного вращением этой площади вокруг оси $OX$.

Задача 7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигур, ограниченных линиями $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = 0$.

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Длина дуги кривой: примеры решений

Задача 8. Найти длину дуги кривой $l$.

$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{\ln x}{2}, 1\leq x \leq 2.$$

Задача 9. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

$$x=3(1-\cos t)\cos t, \quad y=3(1-\cos t)\sin t, \quad 0\leq t \leq \pi.$$

Задача 10. Найти длину дуги кривой.

$$\rho=2\varphi, \quad 0 \leq \varphi \leq 1.$$

Другие примеры

• Двойные интегралы - примеры решений
• Тройные интегралы - примеры решений
• Криволинейные интегралы - примеры решений
• Поверхностные интегралы - примеры решений