Формулы онлайн: Случайные величины

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (в формате для скачивания - см. на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей).

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные величины. Способы задания

Ряд распределения дискретной случайной величины

Табличный вид:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end{array}$$

Сумма вероятностей всегда равна 1 (условие нормировки):

$$\sum_{i=1}^{n} p_i=1$$

Примеры решенных задач с табличным законом распределения ДСВ

Функция распределения (интегральная функция распределения)

Функция распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $F(x)=P(X\lt x)$. Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения $f(x)$, то функция распределения выражается как интеграл от плотности:

$$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\, dt.$$

Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

Плотность распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $f(x)=F'(x)$. Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки (площадь под кривой вероятности равна 1):

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx=1.$$

Примеры решенных задач о НСВ

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Может быть вычислена двумя способами:

1) через функцию распределения

$$P(\alpha \lt X \lt \beta) = F(\beta)-F(\alpha).$$

2) через плотность распределения

$$P(\alpha \lt X \lt \beta) = \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\, dx.$$

Случайные величины. Числовые характеристики

Математическое ожидание случайной величины

1) Для дискретной случайной величины $X$, заданной рядом распределения:

$$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i.$$

2) Для непрерывной случайной величины $X$, заданной плотностью распределения:

$$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot x\, dx.$$

Статья и калькулятор о математическом ожидании

Дисперсия случайной величины

По определению дисперсия – это второй центральный момент:

$$D(X) =M\left[ \left(X-M(X)\right)^2 \right] =M(X^2)-\left(M(X)\right)^2.$$

1) Для дискретной случайной величины $X$:

$$D(X)= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - \left(M(X)\right)^2.$$

2) Для непрерывной случайной величины $X$:

$$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot x^2\, dx - \left(M(X)\right)^2.$$

Статья и калькулятор о дисперсии

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

$$\sigma (X) = \sqrt{D(X)}.$$

Статья и калькулятор о СКО

Коэффициент вариации случайной величины

$$V(X) = \frac{\sigma(X)}{M(X)}.$$

Начальный момент r–го порядка случайной величины

определяется по формуле:

$$\nu_r = M(X^r)$$

В частности, первый начальный момент – это математическое ожидание: $\nu_1=M(X^1)=M(X).$

Центральный момент r – го порядка случайной величины

определяется по формуле:

$$\mu_r = M\left[ \left(X-M(X)\right)^r \right]$$

В частности, второй центральный момент – это дисперсия:

$$\mu_2 = M\left[ \left(X-M(X)\right)^2 \right] = D(X).$$

Асимметрия

$$A_s = \frac{\mu_3}{\sigma^3}.$$

Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

Эксцесс

$$E = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3.$$

Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

Полезные ссылки

Онлайн калькуляторы Формулы комбинаторики

Статьи по теории вероятностей Более 200 готовых примеров